Раствор конуса потерь. Критические питч-углы.

Рис. 1. Схема движения частицы в магнитном поле. Определения параметров.

Представим себе частицу, захваченную в магнитном поле Земли (Рис. 1). Она, как хорошо известно, вращается вокруг силовой линии по ларморовскому кружку, совершает колебания вдоль силовой линии и испытывает азимутальный дрейф по всем долготам вокруг Земли. Периоды этих движений увеличиваются в порядке перечисления.
Рассмотрим частицу у вершины силовой линии (точка с напряженностью поля B₀ в правой части рисунка). Пусть она находится на оболочке с параметром L (измеряется в радиусах земли Rз и равен в дипольном поле расстоянию от центра Земли до вершины силовой линии ). Если ее питч-угол 90°, она не испытывает колебаний и находится все время на одном и том же расстоянии от Земли (). Если же питч-угол меньше 90°, она ддвижется вдоль силовой линии и отражаясь в точках с напряженностью Bm (m - mirror, зеркальная точка, англ.). Пусть магнитная широта этой точки отражения равна λ, высота над Землей h. Чем меньше питч-угол на экваторе α, тем ниже высота точки отражения, тем меньше h.
Если так случилось, что в точке отражения частица заходит на высоту h меньше или порядка 100 километров, она может "погибнуть" в атмосфере и перестать участвовать в колебательном движении. Рассчитаем, каким должен быть питч-угол частицы на экваторе, чтобы точка отражения частицы располагалась на высоте h. Назовем этот питч-угол критическим (α_кр). Частица с питч-углом меньше α_кр погибнет заведомо, поэтому диапазон питч-углов от 0 до α_кр называется конусом потерь, а α_кр еще называется раствором конуса потерь.
Из закона сохранения первого адиабатического инварианта
.
Уравнение силовой линии магнитного диполя
,
напряженность магнитного поля в зависимости от r,λ имеет вид
.
где μ~0,311 - магнитное поле на экваторе Земли при L=1. Значит, в точке у вершины силовой линии расстояние равно
,
а напряженность магнитного поля будет равна
.
В точке отражения, исходя из тех же формул,
.

Объединяя все упомянутые выше выражения, получаем для критического угла выражение вида
.
Осталась одна неизвестная величина λ, которую можно рассчитать по уже использовавшейся формуле
,
где r в точке отражения равно R_з+h, значит
.
Подставляя это выражение в формулу для критического угла, получаем

Перейдем от выражений типа R_з+h к выражениям, содержащим h/R_з. Получаем


Отсюда видно, что полученное выражение безразмерно и, скорее всего, ошибок в вычислениях не было.

Рис. 2. Зависимость критического питч-угла в градусах от L.
Если взять для расчета R_з=6400 км, h=100 км, диапазон по L от 1.2 до 7, получим следующую таблицу критических питч-углов:

L	1/L3	(1+h/Rз)/L	sin2αкр	sin αкр	αкр, радиан	αкр, °
1,2	1,157407	0,84635417	0,98010028	0,99	1,429258	81,89044
1,5	0,592593	0,67708333	0,43227588	0,657477	0,717465	41,10773
2	0,25	0,5078125	0,16259809	0,403235	0,415049	23,78054
3	0,074074	0,33854167	0,04388738	0,209493	0,211057	12,09265
5	0,016	0,203125	0,00889365	0,094306	0,094447	5,411387
7	0,005831	0,14508929	0,00316099	0,056223	0,056252	3,22302

Для меньших L получается значение больше единицы, и потому для них невозможно рассчитать соответствующие критические питч-углы.
На Рис. 2 показана зависимость критического питч-угла от L. Подведем итоги:

1. Частица с питч-углом, равным критическому или больше, попадает в конус потерь и гибнет в атмосфере.
2. В максимуме радиационного пояса критический питч-угол порядка 10°. Чем ближе к Земле, тем шире раствор конуса потерь.
3. Предельное значение раствора конуса потерь достигается на L<1.2.

1. Магнитное поле Земли на самом деле не дипольное. В литературе описаны методы модификации расчета, например, введением смещения центра диполя от центра Земли. Можно проводить расчет с помощью моделей магнитного поля (например, IGRF, модели Цыганенко и др.), которые гораздо ближе к реальному.
2. Радиус Земли взят с большим округлением.
3. Высота атмосферы не может быть определена в точности и 100 км это лишь приблизительная оценка.

Использованная литература

Х. Редерер, Динамика радиации, захваченной геомагнитным полем. Мир, Москва, 1972.