Глава 3. Ускорение частиц продольными электростатическими  полями

 

§1. Неэквипотенциалъность магнитных силовых линий

 

В космофизических объектах может происходить непосредственное ускорение частиц большими ламинарными электрическими полями вдоль магнитных силовых линий. Возникновение таких полей наряду с тиринг-модой и развитием мелкомасштабной плазменной турбулентности приводит к нарушению условия вмороженности магнитных силовых линий. Отличительной особенностью действия такого ускорительного механизма является возникновение квазистационарных функций распределения частиц, сильно отличающихся от максвелловских во всем диапазоне энергий. Возникновение разности потенциалов ΔΦ между двумя точками одной магнитной силовой линии приводит к приращению энергии всех частиц, попадающих в область ускорения, на еΔΦ, при этом может реализовываться режим, когда еΔΦ»T, где Т - температура частиц (напомним, что в бесстолкновительной плазме температурой принято называть усредненную энергию хаотического движения частиц).

Покажем, что в случае разреженной плазмы, т.е. плазмы, в которой длина свободного пробега частиц относительно кулоновских соударений намного превышает размер системы, в магнитной ловушке могут возникать большие разности потенциалов между вершиной магнитной силовой линии и ее основанием в случае пространственно разнесенных источников электронов и ионов. Этот пример был рассмотрен Альвеном и Фельтхаммаром как доказательство возможности возникновения больших разностей потенциалов на магнитной силовой линии. Предположим, что плазма состоит из ионов одного и электронов сорта с магнитными моментами μ_i и μ_e соответственно. N_e электронов и N_i ионов колеблются между пробками магнитной ловушки, причем в силу общей нейтральности системы N_eе_e+N_ie_i=0 (где е_e , e_i, - заряды электронов и ионов соответственно). Полупериод колебаний частицы сорта k равен , где dl - элемент длины магнитной силовой линии, l₁ и l₂- координаты точек отражения, и v_k.- компонента продольной скорости частицы сорта k. Во время движения частица на отрезке dl создает заряд dq_k =e_kdl/τ_kv_k|| . Предполагая, что на каждом участке силовой линии выполняется условие квазинейтральности, получаем условие N_edq_e+N_idq_i=0, откуда следует, что τ_ev_e||=-τ_iv_i|| , т.е. v_e||=αv_i|| , где α=const. Уравнение движения частицы сорта k с массой m_k при выполнении дрейфового приближения имеет вид

 

.  (3.1)

 

Из уравнения (3.1) следует, что при e_i=-e=e

 

. (3.2)

 

Из (3.2) следует, что

 

. (3.3)

 

Из уравнения (3.1) следует, что E_||=0 только если магнитное поле однородно, т.е. dB/dl=0, или если К=0. Т.к. μ_k=W_k^/B, и W_e||=α²(m_e/m_i)W_i|| , где W_k|| и W_k^ - продольная и

перпендикулярная компоненты кинетической энергии, последнее возможно только при

 

. (3.4)

Соотношение (3.4) означает, что винтовые линии траекторий электронов и ионов имеют одинаковый питч-угол. При этом, оба сорта частиц колеблются с одинаковой амплитудой в отсутствии электрического поля. При К≠0 разность потенциалов между точками а и b магнитной силовой линии

, (3.5)

где выражение в квадратных скобках относится к точке а. Если инжекция ионов с нулевой энергией происходит в точке b, a инжекция электронов в точке а, причем B_b>B_a , то

(W_e)_α=e(Φ_α -Φ_b), (W_e^)_α=0, и соотношение (3.5) дает

. (3.6)

Соотношение (3.6) показывает, что в ловушках с большим пробочным отношением, т.е. при B_b»B_a, еΔΦ»W.

Обобщение рассмотренной модели при различных распределениях по скоростям инжектируемых в ловушку частиц показывает, что в бесстолкновительной плазме магнитосфер Земли и планет могут существовать значительные разности потенциалов между торцом ловушки и вершиной магнитной силовой линии. Такие разности потенциалов могут быть вычислены по энергиям близких к моноэнергетическим потоков электронов, вторгающихся в ионосферу на высоких широтах.В магнитосфере Земли такие потоки электронов вызывают появление дискретных дуг полярных сияний. Если в некоторой области магнитной ловушки возникает продольное электростатическое поле, то вблизи этой области должны существовать электростатические поля, перпендикулярные магнитным силовым линиям. Такие поля действительно экспериментально наблюдаются при пересечении спутником потоков электронов, ускоренных вдоль магнитных силовых линий (рис. 3.1). На правой части рисунка показаны характерная форма зависимости энергии электронных потоков, измеряемой на спутнике, от координаты х вдоль траектории полета и вид зависимости от х поперечного электрического поля. Чем выше проходит траектория спутника, тем больше регистрируемые электрические поля. Отсюда делается вывод, что форма эквипотенциалей в области, пересекаемой спутником, имеет вид, показанный в левой части рис. 3.1. Представленные на рис. 3.1. области высыпаний электронов получили название структур типа "перевернутого V" или Λ-структур.

Рис.3.1. Форма эквипотенциалей и зависимости энергии высыпающихся электронов Eе и поперечных электрических полей Е от координаты вдоль траектории полета спутника при пересечении им спокойной однородной дуги полярного сияния

Характерным свойством таких потоков является очень большой ток, переносимый высыпающимися электронами, который намного превышает env_T , где n, v_T - концентрация и температура электронов. Поэтому физика образования продольной разности потенциалов должна отличаться от рассмотренного выше идеализированного бестокового случая.

 

§2. Ускорение частиц двойными слоями

 

Если в плазме течет большой продольный ток, т.е. ток вдоль магнитных силовых линий, в ней может развиваться одна из токовых неустойчивостей (в зависимости от параметров системы и токовой скорости; бунемановская, ионно-звуковая, ионно-циклотронная и др.), на нелинейной стадии развития которых могут образовываться области сильных локализованных продольных электростатических полей - двойные слои. Возникновение сильных продольных полей в двойном слое обусловлено нарушением условия квазинейтральности и возникновением больших объемных зарядов.

В системе отсчета, где двойной слой покоится, распределение потенциала в двойном слое должно удовлетворять уравнению Пуассона

ѲΦ=-4πуe(n_i-n_e), (3.7)

 где предположено, что плазма состоит из электронов и однозарядных ионов. На границах области скачка потенциала должно выполняться условие квазинейтральности, а распределение зарядов внутри слоя, как функция от Φ, определяется из решения уравнений движения частиц при заданных функциях распределения на границах. Решая задачу о движении частиц в заданном потенциальном поле, определяя зависимость n_k от Φ при известном распределении вне слоя и подставляя найденные концентрации в (3.7), можно получить уравнение для потенциала, решение которого дает возможность определить величину скачка потенциала в слое ΔФ к энергию еΔΦ, приобретаемую частицей при пересечении слоя.

В качестве примера рассмотрим решение задачи для классического одномерного двойного слоя Ленгмюра. Будем считать, что поток холодных электронов, т.е. электронов, тепловые скорости которых много меньше регулярных, направлен в сторону увеличения координаты z, направленной вдоль постоянного магнитного поля В, а поток холодных ионов - в сторону уменьшения. Все величины в одномерном рассмотрении зависят только от z. Если j_e ,j_i - потоки электронов и ионов, ускоряемых в слое, u_0e , u_0i - токовые скорости электронов и ионов вне слоя, то скорости электронов и ионов определяются из закона сохранения энергии и, в силу уравнения непрерывности,

 

, (3.8)

 

где Φ=Φ(z), Φ₀ - потенциал на анодной границе слоя при равном нулю катодном потенциале, т_e,i - массы электрона и иона, n_ec - концентрация электронов 'в катодной части слоя, n_ia - концентрация ионов в анодной части слоя. Квазинейтральность в катодной части слоя должна обеспечиваться ионами, которые отражаются двойным слоем. Если они имеют температуру T_ic, значительно меньшую энергии, приобретаемой частицей в слое, то они подчиняются больцмановскому распределению, и их концентрация равна

 

. (3.9)

 

Разлагая (3.8), (3.9) в ряд при малых значениях потенциала, получаем, что потенциал может расти с увеличением z, только если

 

 u_0e>T_ic/m_e . (3.10)

 

Аналогично получаем, что

u_0i>T_ea/m_i , (3.11)

 

где T_ea - температура электронов в анодной части слоя. При учете теплового движения частиц ионного и электронного пучков, условия (3.10), (3.11) заменяются на условия

, (3.12)

 

, (3.13)

 

где γ -показатель адиабаты. Подставляя (3.8) в (3.7), получаем уравнение для потенциала

                                                 (3.14)

 

Уравнение (3.14) можно проинтегрировать один раз, учитывая, что

d²Φ/dz²=[d(dΦ/dz)²/ dΦ]/2 . Откуда получаем

 

, (3.15)

 

где E=-dΦ/dz, E(0)=0. Выполнение условия E(Φ₀)=0 связывает скачок потенциала с электронным и ионным токами. При  обращение поля в ноль на границе слоя накладывает условие на потоки электронов и ионов

 

, (3.16)

 

которое называется условием Ленгмюра. Проинтегрировав (3.15) численно, можно найти распределение потенциала в двойном слое. В релятивистском случае соотношение (3.16)

приобретает вид j=j_i . Из (3.16) следует, что если в системе отсчета наблюдателя ионные и электронные потоки не связаны данным условием, двойной слой должен двигаться с такой скоростью, чтобы в системе двойного слоя условие Ленгмюра могло бы выполняться. Толщина прямого двойного слоя, которая может быть получена из (3.15), составляет несколько дебаевских длин.

Более сложным для рассмотрения является случай двумерного наклонного двойного слоя. В таких слоях кроме компоненты электрического поля, направленной вдоль В, существует компонента, направленная поперек В, которая оказывает влияние на движение частиц. Точное решение задачи требует проведения кинетического рассмотрения, но при выполнении условия малости изменения электрического поля на расстоянии порядка ларморовского радиуса иона может быть проведено гидродинамическое рассмотрение. Пусть, как и в случае прямого двойного слоя, ось z направлена вдоль постоянного В, ось х - вдоль поперечной к магнитному полю компоненты электрического поля Е_^, а нормаль к слою образует с направлением магнитного поля угол θ. При учете поляризационного дрейфа в поле Е_^ изменение фазы циклотронного вращения φ со временем дается выражением

, (3.17)

где ω_k=eB/m_kc – циклотронная частота частицы сорта k (k=e,i), e_k , m_k – заряд и масса частицы. Относительное изменение фазы пропорционально массе частицы, поэтому вкладом поляризационного дрейфа в изменение фазы вращения электронов можно пренебречь, и учитывать этот вклад только при описании движения ионов. В соответствии с (3.17) интегралом движения в постоянном магнитном поле является не скорость перпендикулярного движения, а

. (3.18)

 

Изменение энергии поперечного движения связано с тем, что средний потенциал, который частица "видит" при гировращении отличается от потенциала в точке, где расположен ведущий центр. Вторым интегралом движения является сумма потенциальной энергии ведущего центра и кинетических энергий продольного движения и поляризационного дрейфа

, (3.19)

 

где все величины относятся к ионам, т.к. вкладом последнего члена в правой части для электронов также можно пренебречь. Решение кинетического уравнения в данном случае может быть записано в виде произвольной функции интегралов движения, поэтому оно полностью определяется заданием граничных условий. Полагая, что функция распределения не зависит от фазы циклотронного вращения частиц, получаем

. (3.20)

 

где f⁰  - функция распределения на границе слоя, a   -определяются из соотношений (3.18), (3.19), в которых производные вычисляются в точке расположения ведущего центра частицы. Граничное значение функции распределения ионов задается при Φ=Φ₀ поэтому ниже мы переобозначим Φ→Φ₀-Φ. Концентрация пролетных ионов

, (3.21)

где . Вводя

, (3.22)

где - концентрация ионов при E_^=0, проводя интегрирование в (3.21), отбрасывая члены второго порядка малости и вводя переменную η=я-αx, где α=tgθ, можно прийти к уравнению

 

, (3.23)

 

где  - альвеновская диэлектрическая проницаемость,  - квадрат альвеновской скорости. Переходя к перемнной Φ, получаем

. (3.24)

 

Уравнение (3.24) отличается от (3.14) тем, что в его левой части стоит множитель (1+ζα²), который обычно много больше 1. Величины  рассчитываются так, как если бы поперечное электрическое поле отсутствовало. Толщина двойного слоя при этом возрастает в с/v_A раз и составляет несколько ларморовских радиусов ионов.

 

§3. Ускорение частиц в пробочных ловушках и возникновение оболочечных структур у функций распределения

 

При ускорении электронов и ионов в прямом и наклонном двойных слоях формируются пучковые распределения, минимальная энергия которых определяется падением потенциала в слое. Электроны в спокойных дугах полярного сияния обладают питч-угловым распределением, близким к изотропному. Такая изотропизация при ускорении в продольном поле обусловлена неучтенным в §2 фактором - неоднородностью внешнего магнитного поля В. При рассмотрении структур, размеры которых много больших дарморовского радиуса в поперечном к магнитному полю направлении, инвариантными. переменными являются полная энергия частицы ε и ее магнитный момент. В этих переменных_функция распределения пролетных электронов, имеющих первоначально максвелловское распределение, приобретает вид

, (3.25)

 

где n⁰, Т_е - концентрация и температура электронов над областью ускорения, μ - магнитный момент электрона. Концентрация внутри ускорительной области n_e=∫fdεdμ. Ускоряясь в продольной разности потенциалов, электроны могут достигнуть

торца ловушки – ионосферы и погибнуть там, вызы­вая свечение (такие частицы принято называть высыпающимися), либо могут отразиться магнитной пробкой и вернуться в исходную область, потеряв энергию, равную приобретенной при ускорении. Ускорение в данном случае может быть описано только чисто кинетически при рассмотрении всех возможных траекторий частиц. В случае электронов (рис. 3.2) заполнение областей фазового пространства пролетными частица может быть определено из условия

. (3.26)

Рис. 3.2. Области фазового пространства [ (mv²/2)•μ], занимаемые пролетными электронами. Двойной штриховкой показаны области соответствующие высыпающимся частицам

 

На рис. 3.2. двойной штриховкой показана область фазового пространства для высыпающихся частиц, одинарной отраженных магнитным полем и возвращающихся в исходную область, B₀, B_i - напряженности поля в области начала ускорения и в области гибели электронов (ионосфере) соответственно. Ускоренные ионы ионосферного происхождения образуют ионный пучок. Задача о распределении потенциала вдоль силовой линии при решении уравнения (3.7) требует кроме учета четырех групп частиц, рассмотренных в § 2 (про­летные электроны из магнитосферы, пролетные ионы ионосфер­ного происхождения, отражаемые слоем электроны ионосферы, отражаемые слоем ионы из магнитосферы), учета существования групп частиц, захваченных между скачком потенциала и магнитной пробкой. При этом, может быть получено решение со скачком потенциала, растянутым вдоль магнитной силовой линии при малом отклонении от квазинейтральности.

Образующиеся при продольном ускорении функции распределения электронов, если их первоначальная температура отличалась от ноля, имеют пучковую структуру в пространстве модуля скорости, но близкое к изотропному питч-угловое распределение вне конуса, обратного конусу потерь. Вид функции распределения пролетных электронов на ионосферных высотах показан на

Рис.3.3. Схематический вид функции распределения электронов оболочечного типа ниже области ускорения
рис. 3.3. Пик в центре соответствует холодным ионосферным электронам. При учете процессов релаксации и частиц, захваченных между магнитной пробкой и электростатическим барьером, функция распределения деформируется в области энергий меньших приобретаемой в области ускорения, как это показано на рис. 3.4. а, вплоть до образования плато (рис. 3.4 б). Такие функции распределения являются типичными для электронов, вызывающих свечение в виде спокойных однородных дуг полярного сияния. Отношение энергии, приобретаемой в продольном поле, к первоначальной тепловой для таких электронов порядка 10.

Рис.3.4. Изменение оболочечной структуры электронной функции распределения в результате квазилинейной релаксации и захвата частиц между магнитной пробкой и электростатическим барьером: а - функция распределения с максимумом по модулю скорости, б -функция распределения на стадии образования плато

Кинетическое рассмотрение дает возможность определить связь продольной разности потенциалов с переносимым электронами током, позволяющую оценить эффективность данного ускорительного механизма при заданной плотности переносимого тока. Если (- тепловая скорость электронов) - ток, сопровождающий свободное газодинамическое истечение электронов из магнитосферы в ионосферу, то ток ускоренных электронов связан с энергией, приобретаемой электроном в продольном поле V= еΔΦ соотношением

 j/j₀=B_i/B₀+(1-B_i/B₀)exp(-V/T_e(B_i/B₀-1)). (3.27)

На  рис. 3.5. а  показана зависимость j/j₀ от геоцентрического расстояния R_о, на котором находится область ускорения (R_E - радиус Земли).
Рис.3.5. а - зависимость продольного тока от геоцентрического расстояния области ускорения ,
б - зависимость продольного падения потенциала, необходимого для соз-дания данного тока от R/Re.
 

Эта зависимость быстро выходит на плато и принимает вид

 

j/j₀=1+ V/T_e , (3.28)

 

т.е. вид своеобразного закона "Ома", устанавливающего линейную связь между током и падением потенциала на магнитной силовой линии. Зависимость (3.28) легко получить на основании следующих простых рассуждений. Если в ускоряющую область попадают частицы с энергией Т_e , имеющие изотропное питч-угловое распределение, то после ускорения они будут иметь изотропное распределение в угле 0<θ< θ₀ (V)=arcsin(V/V+T_e) (если не принимать во внимание расходимость магнитных силовых линий в области ускорения). От высот, где напряженность магнитного поля B₀, до высот ионосферы, где В=В_i, дойдут только те частицы, у которых 0<θ< θc (V)=arcsin(B₀/ B_i) . Если Ω₀ - телесный угол, отвечающий θc , то из первоначального потока только доля частиц, равная Ω_c/Ω₀ , дойдет до ионосферы при Ω_c<Ω₀. Так как на ускоряющую область сверху падает поток электронов j₀/e, который за счет расходимости магнитных силовых линий увеличился бы до (B_i/B₀)j₀/e, если бы все частицы дошли до ионосферы, то плотность тока горячих электронов (B_i/B₀)j₀ Ω_c/Ω₀ . При B_i/B₀ »1 и V»T_e Ω_c/Ω₀≈(1+V/ T_e)(B_i/B₀) , откуда и получаем (3.28). На рис. 3.5. б  показана зависимость продольного падения потенциала, необходимого для создания данного электронного тока от высоты области ускорения. Ниже определенной высоты, как это следует из (3.27), никакой, даже бесконечно большой, скачок потенциала, не может сформировать заданный ток. Ускорение электронов в полярных сияниях обусловлено динамикой магнитосферных процессов, требующих при выполнении условия магнитостатического равновесия и наличии крупномасштабных возмущений существования довольно больших продольных токов. Если величина вытекающего из ионосферы тока превышает j₀, то для его поддержания в силу ограниченности количества носителей возникают большие квазистационарные продольные падения потенциалов, в которых и происходит ускорение электронов, вызывающих появление спокойных дискретных дуг полярного сияния.