Глава 4. Ускорение заряженных частиц в крупномасштабных нестационарных магнитных полях (магнитная накачка)

§1. Качественное рассмотрение

Механизм ускорения заряженных частиц при периодических изменениях магнитного поля B(t) с частотой, много меньшей циклотронной частоты частицы, был предложен Альвеном. В таком поле сохраняется магнитный момент частицы, а перпендикулярная магнитному полю p_^ и параллельная полю р_||  составляющие импульса в случае однородного поля определяются соотношениями

 

. (4.1)

 

Среднее значение импульса за период изменения магнитного поля Т остается неизменным (увеличение поперечного импульса за время нарастания поля компенсируется его уменьшением за время спада, а параллельная составляющая импульса не изменяется). Процесс изменения импульса принимает необратимый характер, если в плазме может раскачиваться турбулентность, приводящая к эффективной изотропизации функции распределения частиц без изменения величины импульса. При этом, возможно экспоненциальное нарастание полного импульса р за счет бетатронного ускорения, сопровождаемого рассеянием частиц на турбулентных пульсациях поля. Для выполнения условий ускорения длина волны турбулентных пульсаций поля должна быть сравнима с с ларморовским радиусом частицы.

Для того, чтобы пояснить механизм магнитной накачки рассмотрим изменение во времени магнитного поля с периодом Т, показанные на рис. 4.1. Магнитное поле от t₁ до t₂ (t₂-t₁=τ₁ ) нарастает от величины B₀ до величины В₁ , за время от t₂ до t₃  (t₃- t₂=τ₀) - остается постоянным, а за время от t₃ до t₄ уменьшается до своего исходного значения.
Рис.4.1. Модельная зависимость магнитного поля от времени

В началь­ный момент t₁ импульс равномерно распределен между тремя степенями свободы, так что  где р_о - полный импульс частицы в момент t₁ . Если τ - время равнораспределения энергии по трем степеням свободы частицы, и выполняются условия  (где ω_B - циклотронная частота частицы, и предполагается, что крупномасштабное поле не проходит через ноль), от t₁ до t₂ в соответствии с (4.1) будет происходить нарастание поперечной компоненты импульса и в момент t₂  величины, где k=B₁/B₀ . Квадрат полного импульса  в момент t₂  равен . Это значение полного импульса не изменяется за время от t₂ до t₃ , но за счет рассеяния происходит изотропизация распределения, и часть энергии, приобретенная при бетатронном ускорении за время τ₁ , передается параллельной составляющей импульса. Таким образом в момент t₃ . При уменьшении поля от t₃ до t₄ перпендикулярная составляю­щая импульса уменьшается, а параллельная - сохраняет свое значение. Таким образом в момент t₄ . Квадрат полного импульса в момент t₄ равен .За время от t₄ до t₅ снова происходит изотропизация, но значение полного импульса не изменяется. Таким образом  в результате одного цикла периоди­ческого изменения поля происходит прирост импульса δр₀, где δ=(5+2k+(2/kc))^1/2/3 как при k>1 , так и при k<1 . Процесс ускорения происходит за счет того, что потеря полного импульса при спаде поля за счет перехода при изотропизации части перпендикулярного импульса в параллельный оказывается меньше, чем приобретение полного импульса при нарастании поля. За время t»T цикл повторяется t/T раз, и импульс в момент времени t принимает значение

p(t)=p₀δ^1/T= p₀exp(t/T), (4.2)

где Т=T/ln δ. Скорость роста импульса со временем дается выражением

 

dp/dt=p/T. (4.3)

 

§2. Кинетическое квазилинейное рассмотрение в ультрарелятивистском случае

Для рассмотрения процесса магнитной накачки в кинетическом приближении выведем квазилинейные уравнения для функции распределения частиц f(p,r,t) в ультрарелятивистском случае при наличии внешнего однородного нестационарного поля B(t). Обозначив через Е и Н электрическое и магнитное поля турбулентных пульсаций, через j ток частиц плазмы, п - их концентрацию, запишем систему уравнений для полей и частиц

 (4.4)

 

где е - заряд частицы, с - скорость света,  -безразмерный полный импульс частицы, ε - ее безразмерная полная энергия в единицах m₀c² , m₀ - масса покоя частицы,  - соответственно сила и индукционное электрическое

 

поле, обусловленные полем  - сила, действующая на частицу со стороны электромагнитной волны. Если частота изменения внешнего магнитного поля много больше ω_B (где ω_B = |е|B/εm₀c - ларморовская частота частицы), под влиянием Е_ех происходит изменение перпендикулярной к направлению В составляющей импульса частицы , а параллельная составляющая p_|| остается неизменной

. (4.5)

Из (4.5) следует, что сила F_ex=m₀cdp/dt, равна

, (4.6)

где е - единичный вектор вдоль составляющей импульса p_^.

Представим f в виде суммы быстро (f₁)и медленно (f₀)  изменяющихся частей

 

f= f₀+ f₁,  | f₁|« f₀, (4.7)

 

где ∂ f₀/∂r=0 в силу однородности В. Подставляя (4.7) в первое из уравнений системы (4.4), получаем

. (4.8)

 

Усредняя (4.8) по волновым колебаниям, получаем

, (4.9)

где черта сверху обозначает такое усреднение. Вычитая (4.9) из (4.8) и оставляя только члены первого порядка малости, получаем

. (4.10)

 

Если частота электромагнитных волн ω»Ω (где Ω – частота колебаний В), то за время  величина B≈const. Поэтому в (4.10) F_ex≈e[pB] и уравнение (4.10) принимает вид

. (4.11)

Уравнение (4.11) линейно, поэтому его решение можно искать в виде разложения в интеграл Фурье. Получим решение (4.11) в случае волн, бегущих вдоль магнитного поля и имеющих вид e^i(kz-ωt), где k="|k| , k - волновой вектор, а ось z направлена вдоль В. Для каждого из направлений распространения (по полю и против поля) возможны две круговые поляризации волн: E_x="iE_y, где знак (+) соответствует правому вращению электрического поля волны, т.е. направлению вращения протона в поле В, а знак (-) -левому, т.е. направлению вращения электрона. Полярный угол ψ определяется из уравнения , tgψ=E_y/E_x, т.е. ψ="ωt, поскольку E_x~Re("ie^-ωt)=cosωt, E_y~Re("ie^-ωt)=sinωt.

Введем цилиндрическую систему координат в пространстве импульсов p=(p_|| ,p_^ ,φ). Тогда

 (4.12)

 

При этом третье слагаемое в левой части (4.11) принимает вид

, (4.13)

где ω_B=eB/mc=eB/m₀εc (). Используя  (4.13), учитывая, что p∂f₁/∂r=p_z∂f₁/∂z и вводя фурье-компоненту f_k функции f₁(p,t), преобразуем левую часть уравнения (4.11), которую обозначим через  , к виду

.  (4.14)

 

При  преобразовании  правой  части  уравнения (4.11) воспользуемся соотношением H=cω^-1[kE_k], которое следует из уравнений Максвелла, где E_k, H_k - фурье-компоненты полей Е и Н соответственно. При этом

 

E_k+ε^-1[pH_k]= E_k+c(ωε)^-1[p[kE_k]]=(ωε)^-1[(ωε-ckp_z) E_k+ck(E_kp)].

 

В результате, правая часть уравнения (4.11), которую мы обозначим через , принимает вид

, (4.15)

 

где для волн круговой поляризации E_kx=±iE_ky . Используя (4.12), полагая ∂f₀/∂φ=0  (так как f₀  не связано с волной) и обозначая E_±= E_kx+iE_ky, находим

. (4.16)

 

Подставляя (4.16) в (4.15) и приравнивая (4.15) и (4.14), получаем для f_k(φ) линейное дифференциальное уравнение

,

 

решение которого

, (4.17)

 

где верхний знак соответствует правому вращению, а нижний -левому. Учитывая, что  и ,запишем (4.17) в виде

, (4.18)

 

где, как можно показать, первое слагаемое в фигурной скобке обусловлено действием электрического поля волны, а остальные слагаемые - действием силы Лоренца.

Аналогично  преобразуем  третий,  квадратичный  по турбулентным пульсациям, член в уравнении (4.9), учитывая, что

, (4.19)

 

где  - комплексно-сопряженное от фурье-компоненты F_k силы F. Используя (4.12), (4.16) и учитывая, что, в отличие от (4.16)  ,   ,поскольку ∂f_k/∂φ≠0, получаем

 

. (4.20)

 

Подставляя (4.17) в (4.20), а затем (4.20) в (4.19), используя соотношения

 и вводя спектральную функцию турбулентности

, (4.21)

преобразуем выражение (4.19) к виду

.

 

При суммировании по k основной вклад дадут резонансные члены, соответствующие резонансным значениям волнового числа k_r , определяемым из условия циклотронного резонанса

. (4.22)

 

Воспользовавшись соотношением

,

 

 

где Р понимается в смысле главного значения, окончательно получаем

 ,

 

где суммирование производится по всем резонансным значениям k и где для сокращения записи k_r заменено на k. Для частиц высоких энергий резонансные условия выполняются с альвеновской ветвью колебаний, поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением альвеновской турбулентности, для которой

ω=(4πρ)^-1Bk,    ∂ω/∂k=c_AB/|B|, (4.24)

 

где c_A=B/(4πρ) - альвеновская скорость, ρ - плотность плазмы.

 

§3. Уравнение диффузии в импульсном пространстве

 

Для вывода уравнения, описывающего ускорение частиц при магнитной накачке, рассмотрим уравнение (4.9) с внешней си­лой, даваемой выражением (4.6) и квадратичным по турбулент­ным пульсациям членом, даваемым (4.23). Если θ - питч-угол частицы, то p_z=psinθ, p_z=pcosθ и

. (4.25)

 

Обозначая , получаем после суммирования (4.23) по резонансным k

, (4.26)

 

где

,

 

σ=p_z/|p_z| , σ=1 при p_z<0, σ=-1. При записи правой части(4.26) было учтено, что

δ[f(x)]=∑δ(x-x_n)/|f’(x_n)| , если функция f(x) имеет только простые нули. Было учтено также, что, как следует из условия циклотронного резонанса (4.22), при |v_z|»c_A в случае однокомпонентной протонной плазмы правому вращению соответствуют k>0 при р_z<0 и k<0 при р_z>0, а левому вращению - k>0 при р_z>0, k<0 при р_z<0. Для электронной компоненты, когда ω_B , все знаки следует поменять на противоположные. Таким образом, выражение (4.26) соответствует всем возможным значениям направления импульса и поляризации волн и справедливо, как для протонной, так и для электронной компоненты. В (4.26) спектр Φ(|k|) соответствует резонансным .

Представим оператор Ŝ в виде разложения по малому параметру u=c_A/v (где v - скорость частицы) с точностью до членов ~u² включительно. Т.к. (1-u)^-1=1+u+u² +… , Φ=Φ_u=0+u(∂Φ/∂u)_u=0 +0,5u²(∂²Φ/∂u²)_u=0 +…, то объединяя члены одного порядка малости и учитывая, что из (4.25) вытекают соотношения

 

, (4.27)

 

получаем Ŝ=Ŝ₀+Ŝ₁+Ŝ₂, (4.28)

где

В формулах (4.28) Φ берется при резонансных значениях k, соответствующих u=0, т.е. при . Операторы Ŝ=Ŝ₀+Ŝ₁+Ŝ₂ являются членами соответственно нулевого, первого и

второго порядков малости по параметру и. Оператор Ŝ₀, который воздействует только на угловую часть функции распределения, называется оператором рассеяния.

Решение уравнения (4.26), усредненное за период T=2π/Ω колебаний крупномасштабного поля B(t)=B₀(1+βcosΩt) (где β<1), будем искать в виде

, (4.29)

где - изотропная часть функции распределения, f_c , f_a соответственно симметричная и несимметричная относительно θ=π/2 добавки к , а черта сверху обозначает усреднение по Т. Так как рассеяние приводит к изотропизации функции распределения, то

 (4.30)

Разбиение угловой части в (4.29) на f_c и  f_a и  связано с тем, что изотропизация происходит различно при начальных симметричном и несимметричном распределениях, так что

Ŝ₀f_c≠0, Ŝ₀f_a=0. (4.31)

Используя выражение для оператора рассеяния Ŝ₀, можно показать, что

. (4.32)

 

Действительно, интенсивность турбулентности h²~|kΦ(|k|)| ос ограничена  при θ=0,π,   поскольку  основной  масштаб турбулентности много больше ларморовских радиусов быстрых частиц, так что h² убывает с ростом , а величина df_с/дθ вдоль магнитного поля тоже ограничена или стремится к бесконечности не быстрее, чем sin^-1θ.

Линеаризованное кинетическое уравнение для (f_c+ f_a) получаем, подставляя (4.29) в (4.26) и используя (4.28). После усреднения по телесному углу с учетом (4.30)-(4.32) в кинетическое уравнение входит только f_a , и оно имеет вид

. (4.33)

 

Ограничимся случаем сильного рассеяния, когда время изотропизации τ (время рассеяния частиц на угол ~π) много меньше периода Т. Вычитая (4.33) из неусредненного (по телесному углу) линеаризованного кинетического уравнения и полагая, что в случае сильного рассеяния

, (4.34)

а нарушение этого равенства возможно только внутри пренебрежительно малых интервалов времени τ₀«T, получаем следующее уравнение для f_c

 . (4.35)

 

Хотя условие τ₀«T является определенным ограничением, при его выполнении, как это следует из качественного рассмотрения §1 данной главы, альвеновский цикл приводит к ускорению, так что применение данного приближения оказывается вполне оправданным. Интегрируя (4.35) дважды по θ и учитывая, что <sin²θ>=2/3 , находим f_c

, (4.36)

где

.

Чтобы получить уравнение для , нужно подставить (4.29) в (4.26) и усреднить полученное уравнение по телесному углу и по периоду Т. Учитываем, при этом, что , так как согласно (4.33) . При таком усреднении получаем

, (4.37)

где индексы T, θ означают соответственно усреднение поT и по θ. Непосредственным интегрированием можно убедиться, что

. (4.38)

 Тогда правая часть уравнения (4.26) после интегрирования по Т и по θ обращается в нуль. Сохраняя в этом уравнении члены, квадратичные по пульсациям с периодом магнитной накачки Т, в результате получаем

. (4.39)

 

Подставляя (4.36) в (4.39), после усреднения по телесному углу получаем уравнение ускорения диффузионного типа

, (4.40)

 

где коэффициент диффузии в пространстве импульсов равен

.

 

§4. Постановка самосогласованной задачи о спектре волн и частиц

 

При наличии переменного магнитного поля источником интенсивной турбулентности в плазме является циклотронная неустойчивость, связанная с анизотропией углового распределения по скоростям. Такая анизотропия при сохранении первого адиабатического инварианта возникает в первоначально изотропной плазме при двумерном сжатии - расширении ларморовских орбит частиц за счет изменения магнитного поля. Циклотронная неустойчивость, обусловленная циклотронным резонансом между волнами и частицами на циклотронной частоте с учетом эффекта Допплера, при достаточно больших скоростях частиц возникает при весьма малой анизотропии. Инкремент неустойчивости γ равен γ=-Imδk²/∂(Rek²)/∂ω, где δk² - добавка к волновому числу обусловленная током быстрых частиц. Для волн круговой поляризации, бегущих вдоль оси z

, (4.41)

 

где j_x, j_y - компоненты тока быстрых частиц, E_±=E_x+iE_y. Подставляя в (4.41) выражение (4.18) для фурье-компонент f_k функции распределения быстрых частиц, вводя координаты интегрирования p_z, p_z и φ в соответсвии с (4.12) и интегрируя (4.41) по φ, получаем

, (4.42)

 

где опущен индекс 0 у функции распределения частиц. Вычисление интеграла в (4.42) путем обхода особых точек знаменателя при p_z>0 и p_z<0 дает

 

, (4.43)

 

где подынтегральное выражение берется при резонансном значении импульса и при дисперсионном уравнении (4.24). Примем в дальнейшем, что , тогда условия циклотронного резонанса имеют вид

. (4.44)

С учетом (4.12) величина α, характеризующая анизотропию функции распределения, равна

 

. (4.45)

 

В силу (4.44) , поэтому

 

.

 

Подставляя (4.45) и выражение (4.29) в (4.43), получаем

 

. (4.46)

 

В (4.46) учтено, что вклад в инкремент дает только симметричная часть функции распределения (4.29), так как исходное выражение (4.43) получено суммированием по двум значениям p_z=pcosθ , имеющим противоположные знаки, а величина  несимметрична относительно θ=π/2, так каксимметричная, a tgθ - несимметричная функция. Используя выражение (4.36) и учитывая, что, как можно показать,

 

, приведем (4.46) к виду

 

. (4.47)

При получении (4.47) было использовано резонансное условие (4.44), в силу которого входящая в выражение (4.36) для спектральная функция  была вынесена за знак интеграла, а входящая под знак интеграла величина cos²θ была представлена в виде . Скорость роста спектральной функции связана с инкрементом соотношением

. (4.48)

 

Изменение Φ за время t, сравнимое с периодом магнитной накачки, определяется лишь множителем в (4.47), так как за указанный промежуток времени. Учитывая, что , подставляя (4.47) в (4.48) и производя интегрирование, получаем выражение для спектра турбулентности, усредненного за период Т

 

. (4.49)

 

Уравнения (4.40) и (4.49) образуют искомую самосогласованную систему уравнений для нахождения спектров частиц и волн.

 

§5. Условия возможности ускорения

 

Если бы не было обратного влияния волн на частицы, то анизотропия α₀ вызывала бы только адиабатические изменения импульса в переменном магнитном поле и была бы очень велика по сравнению с анизотропией α при наличии сильного рассеяния. Т.о. при сильном рассеянии, когда угловая функция распределения близка к изотропной, имеется малый параметр α_/α₀«1, по которому можно проводить разложение. Приближение сильного рассеяния, использованное в §4, фактически и является разложением по степеням этого параметра. Условие τ«T является одним из условий возможности ускорения. При отсутствии рассеяния и при достаточно большой концентрации быстрых частиц инкремент γ может периодически принимать большие положительные значения γ₀»Ω. При γ₀»Ω время t₀=1/γ₀ нарастания колебаний в е раз значительно меньше периода T=2π/ Ω, и именно при этом условии рассеяние может происходить за время τ«T. Т.о. условие γ₀»Ω является необходимым для возможности ускорения, т.к. в противном случае, когда неустойчивость развивается медленно, рассеяние частиц не приводит к полной изотропизации в конце цикла, и альвеновское ускорение может прекратиться. Условие γ₀»Ω может быть использовано для оценки минимальной концентрации n_min, при которой возможно ускорение, при этом γ₀(n_min)=Ω. Т.о. для оценки n_min надо вычислить инкремент γ₀(ω) резонансных колебаний при отсутствии рассеяния. Зависимость γ₀(ω) можно получить, используя (4.43) и (4.45) и учитывая, что в отсутствии рассеяния угловая часть функции распределения определяется только адиабатическими изменениями в переменном поле. При этом теряет смысл введение f_c и  f_a , и линеаризованное кинетическое уравнение для угловой части f_θ после усреднения по медленному периоду Т принимает вид

. (4.50)

 

Откуда

, (4.51)

 

где - решение диффузионного уравнения (4.40). В (4.51) без ограничения общности можно положить const=0, т.к. анизотропия должна быть положительной, когда cosΩt≥0, т.е. когда B≥B₀,а для быстрых частиц на хвосте функции распределения . Если известно это решение, то подставляя и (4.51) в (4.43) и пренебрегая первым слагаемым в подынтегральном выражении (4.43), можно вычислить величину γ₀(ω), которая пропорциональна п.

В §1 этой главы было сформулировано еще одно очевидное условие возможности ускорения: ω»Ω. T.о. альвеновское ускорение возможно, когда

 

ω»Ω, τ«T, n»n_min  (4.52)

 

Проведенное квазилинейное рассмотрение, при котором решалось нелинейное уравнение для спектра частиц, а спектр волн описывался в линейном приближении, справедливо, когда амплитуда турбулентных пульсаций не превышает величину исходного крупномаштабного магнитного поля.

Механизм магнитной накачки привлекается для объяснения ускорения ультрарелятивистских электронов в пульсарах и крабовидной туманности, ускорения релятивистских электронов вблизи Юпитера, а также при описании процесса ускорения нерелятивистских ионов с энергиями порядка 10 мэВ/нуклон на границе гелиосферы и в межпланетной среде.