Солнечно-земная Физика
проект "СиЗиФ"

Е.E. Антонова, М.Ф. Бахарева, В.Н. Ломоносов, Б.А. Тверской

Ускорительные механизмы в космосе

Учебное пособие НИИЯФ и Физ.фак. МГУ, 1988


Глава 4. Ускорение заряженных частиц в крупномасштабных нестационарных магнитных полях (магнитная накачка)


§1. Качественное рассмотрение

Механизм ускорения заряженных частиц при периодических изменениях магнитного поля B(t) с частотой, много меньшей циклотронной частоты частицы, был предложен Альвеном. В таком поле сохраняется магнитный момент частицы, а перпендикулярная магнитному полю p^ и параллельная полю р||  составляющие импульса в случае однородного поля определяются соотношениями

 

. (4.1)

 

Среднее значение импульса за период изменения магнитного поля Т остается неизменным (увеличение поперечного импульса за время нарастания поля компенсируется его уменьшением за время спада, а параллельная составляющая импульса не изменяется). Процесс изменения импульса принимает необратимый характер, если в плазме может раскачиваться турбулентность, приводящая к эффективной изотропизации функции распределения частиц без изменения величины импульса. При этом, возможно экспоненциальное нарастание полного импульса р за счет бетатронного ускорения, сопровождаемого рассеянием частиц на турбулентных пульсациях поля. Для выполнения условий ускорения длина волны турбулентных пульсаций поля должна быть сравнима с с ларморовским радиусом частицы.

Для того, чтобы пояснить механизм магнитной накачки рассмотрим изменение во времени магнитного поля с периодом Т, показанные на рис. 4.1. Магнитное поле от t1 до t2 (t2-t11 ) нарастает от величины B0 до величины В1 , за время от t2 до t3  (t3- t20) - остается постоянным, а за время от t3 до t4 уменьшается до своего исходного значения.
Рис.4.1. Модельная зависимость магнитного поля от времени

В началь­ный момент
t1 импульс равномерно распределен между тремя степенями свободы, так что  где ро - полный импульс частицы в момент t1 . Если τ - время равнораспределения энергии по трем степеням свободы частицы, и выполняются условия  (где ωB - циклотронная частота частицы, и предполагается, что крупномасштабное поле не проходит через ноль), от t1 до t2 в соответствии с (4.1) будет происходить нарастание поперечной компоненты импульса и в момент t2  величины, где k=B1/B0 . Квадрат полного импульса  в момент t2  равен . Это значение полного импульса не изменяется за время от t2 до t3 , но за счет рассеяния происходит изотропизация распределения, и часть энергии, приобретенная при бетатронном ускорении за время τ1 , передается параллельной составляющей импульса. Таким образом в момент t3 . При уменьшении поля от t3 до t4 перпендикулярная составляю­щая импульса уменьшается, а параллельная - сохраняет свое значение. Таким образом в момент t4 . Квадрат полного импульса в момент t4 равен .За время от t4 до t5 снова происходит изотропизация, но значение полного импульса не изменяется. Таким образом  в результате одного цикла периоди­ческого изменения поля происходит прирост импульса δр0, где δ=(5+2k+(2/kc))1/2/3 как при k>1 , так и при k<1 . Процесс ускорения происходит за счет того, что потеря полного импульса при спаде поля за счет перехода при изотропизации части перпендикулярного импульса в параллельный оказывается меньше, чем приобретение полного импульса при нарастании поля. За время t»T цикл повторяется t/T раз, и импульс в момент времени t принимает значение

p(t)=p0δ1/T= p0exp(t/T), (4.2)

где Т=T/ln δ. Скорость роста импульса со временем дается выражением

 

dp/dt=p/T. (4.3)

 

§2. Кинетическое квазилинейное рассмотрение в ультрарелятивистском случае

Для рассмотрения процесса магнитной накачки в кинетическом приближении выведем квазилинейные уравнения для функции распределения частиц f(p,r,t) в ультрарелятивистском случае при наличии внешнего однородного нестационарного поля B(t). Обозначив через Е и Н электрическое и магнитное поля турбулентных пульсаций, через j ток частиц плазмы, п - их концентрацию, запишем систему уравнений для полей и частиц

 (4.4)

 

где е - заряд частицы, с - скорость света,  -безразмерный полный импульс частицы, ε - ее безразмерная полная энергия в единицах m0c2 , m0 - масса покоя частицы,  - соответственно сила и индукционное электрическое

 

поле, обусловленные полем  - сила, действующая на частицу со стороны электромагнитной волны. Если частота изменения внешнего магнитного поля много больше ωB (где ωB = |е|Bm0c - ларморовская частота частицы), под влиянием Еех происходит изменение перпендикулярной к направлению В составляющей импульса частицы , а параллельная составляющая p|| остается неизменной

. (4.5)

Из (4.5) следует, что сила Fex=m0cdp/dt, равна

, (4.6)

где е - единичный вектор вдоль составляющей импульса p^.

Представим f в виде суммы быстро (f1)и медленно (f0)  изменяющихся частей

 

f= f0+ f1,  | f1|« f0, (4.7)

 

где ∂ f0/∂r=0 в силу однородности В. Подставляя (4.7) в первое из уравнений системы (4.4), получаем

. (4.8)

 

Усредняя (4.8) по волновым колебаниям, получаем

, (4.9)

где черта сверху обозначает такое усреднение. Вычитая (4.9) из (4.8) и оставляя только члены первого порядка малости, получаем

. (4.10)

 

Если частота электромагнитных волн ω»Ω (где Ω – частота колебаний В), то за время  величина Bconst. Поэтому в (4.10) Fexe[pB] и уравнение (4.10) принимает вид

. (4.11)

Уравнение (4.11) линейно, поэтому его решение можно искать в виде разложения в интеграл Фурье. Получим решение (4.11) в случае волн, бегущих вдоль магнитного поля и имеющих вид ei(kzt), где k="|k| , k - волновой вектор, а ось z направлена вдоль В. Для каждого из направлений распространения (по полю и против поля) возможны две круговые поляризации волн: Ex="iEy, где знак (+) соответствует правому вращению электрического поля волны, т.е. направлению вращения протона в поле В, а знак (-) -левому, т.е. направлению вращения электрона. Полярный угол ψ определяется из уравнения , tgψ=Ey/Ex, т.е. ψ="ωt, поскольку Ex~Re("ie-ωt)=cosωt, Ey~Re("ie-ωt)=sinωt.

Введем цилиндрическую систему координат в пространстве импульсов p=(p|| ,p^ ). Тогда

 (4.12)

 

При этом третье слагаемое в левой части (4.11) принимает вид

, (4.13)

где ωB=eB/mc=eB/m0εc (). Используя  (4.13), учитывая, что pf1/∂r=pzf1/z и вводя фурье-компоненту fk функции f1(p,t), преобразуем левую часть уравнения (4.11), которую обозначим через  , к виду

.  (4.14)

 

При  преобразовании  правой  части  уравнения (4.11) воспользуемся соотношением H=-1[kEk], которое следует из уравнений Максвелла, где Ek, Hk - фурье-компоненты полей Е и Н соответственно. При этом

 

Ek-1[pHk]= Ek+c(ωε)-1[p[kEk]]=(ωε)-1[(ωε-ckpz) Ek+ck(Ekp)].

 

В результате, правая часть уравнения (4.11), которую мы обозначим через , принимает вид

, (4.15)

 

где для волн круговой поляризации Ekx=±iEky . Используя (4.12), полагая ∂f0/∂φ=0  (так как f0  не связано с волной) и обозначая E±= Ekx+iEky, находим

. (4.16)

 

Подставляя (4.16) в (4.15) и приравнивая (4.15) и (4.14), получаем для fk(φ) линейное дифференциальное уравнение

,

 

решение которого

, (4.17)

 

где верхний знак соответствует правому вращению, а нижний -левому. Учитывая, что  и ,запишем (4.17) в виде

, (4.18)

 

где, как можно показать, первое слагаемое в фигурной скобке обусловлено действием электрического поля волны, а остальные слагаемые - действием силы Лоренца.

Аналогично  преобразуем  третий,  квадратичный  по турбулентным пульсациям, член в уравнении (4.9), учитывая, что

, (4.19)

 

где  - комплексно-сопряженное от фурье-компоненты Fk силы F. Используя (4.12), (4.16) и учитывая, что, в отличие от (4.16)  ,   ,поскольку ∂fk/∂φ≠0, получаем

 

. (4.20)

 

Подставляя (4.17) в (4.20), а затем (4.20) в (4.19), используя соотношения

 и вводя спектральную функцию турбулентности

, (4.21)

преобразуем выражение (4.19) к виду

.

 

При суммировании по k основной вклад дадут резонансные члены, соответствующие резонансным значениям волнового числа kr , определяемым из условия циклотронного резонанса

. (4.22)

 

Воспользовавшись соотношением

,

 

 

где Р понимается в смысле главного значения, окончательно получаем

 ,

 

где суммирование производится по всем резонансным значениям k и где для сокращения записи kr заменено на k. Для частиц высоких энергий резонансные условия выполняются с альвеновской ветвью колебаний, поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением альвеновской турбулентности, для которой

ω=(4πρ)-1Bk,    ∂ω/∂k=cAB/|B|, (4.24)

 

где cA=B/(4πρ) - альвеновская скорость, ρ - плотность плазмы.

 

§3. Уравнение диффузии в импульсном пространстве

 

Для вывода уравнения, описывающего ускорение частиц при магнитной накачке, рассмотрим уравнение (4.9) с внешней си­лой, даваемой выражением (4.6) и квадратичным по турбулент­ным пульсациям членом, даваемым (4.23). Если θ - питч-угол частицы, то pz=psinθ, pz=pcosθ и

. (4.25)

 

Обозначая , получаем после суммирования (4.23) по резонансным k

, (4.26)

 

где

,

 

σ=pz/|pz| , σ=1 при pz<0, σ=-1. При записи правой части(4.26) было учтено, что

δ[f(x)]=∑δ(x-xn)/|f(xn)| , если функция f(x) имеет только простые нули. Было учтено также, что, как следует из условия циклотронного резонанса (4.22), при |vzcA в случае однокомпонентной протонной плазмы правому вращению соответствуют k>0 при рz<0 и k<0 при рz>0, а левому вращению - k>0 при рz>0, k<0 при рz<0. Для электронной компоненты, когда ωB , все знаки следует поменять на противоположные. Таким образом, выражение (4.26) соответствует всем возможным значениям направления импульса и поляризации волн и справедливо, как для протонной, так и для электронной компоненты. В (4.26) спектр Φ(|k|) соответствует резонансным .

Представим оператор Ŝ в виде разложения по малому параметру u=cA/v (где v - скорость частицы) с точностью до членов ~u2 включительно. Т.к. (1-u)-1=1+u+u2 +… , Φ=Φu=0+u(Φ/∂u)u=0 +0,5u2(2Φ/∂u2)u=0 +…, то объединяя члены одного порядка малости и учитывая, что из (4.25) вытекают соотношения

 

, (4.27)

 

получаем Ŝ=Ŝ012, (4.28)

где

В формулах (4.28) Φ берется при резонансных значениях k, соответствующих u=0, т.е. при . Операторы Ŝ=Ŝ012 являются членами соответственно нулевого, первого и

второго порядков малости по параметру и. Оператор Ŝ0, который воздействует только на угловую часть функции распределения, называется оператором рассеяния.

Решение уравнения (4.26), усредненное за период T=2π/Ω колебаний крупномасштабного поля B(t)=B0(1+βcosΩt) (где β<1), будем искать в виде

, (4.29)

где - изотропная часть функции распределения, fc , fa соответственно симметричная и несимметричная относительно θ=π/2 добавки к , а черта сверху обозначает усреднение по Т. Так как рассеяние приводит к изотропизации функции распределения, то

 (4.30)

Разбиение угловой части в (4.29) на fc и  fa и  связано с тем, что изотропизация происходит различно при начальных симметричном и несимметричном распределениях, так что

Ŝ0fc≠0, Ŝ0fa=0. (4.31)

Используя выражение для оператора рассеяния Ŝ0, можно показать, что

. (4.32)

 

Действительно, интенсивность турбулентности h2~|(|k|)| ос ограничена  при θ=0,π,   поскольку  основной  масштаб турбулентности много больше ларморовских радиусов быстрых частиц, так что h2 убывает с ростом , а величина dfсθ вдоль магнитного поля тоже ограничена или стремится к бесконечности не быстрее, чем sin-1θ.

Линеаризованное кинетическое уравнение для (fc+ fa) получаем, подставляя (4.29) в (4.26) и используя (4.28). После усреднения по телесному углу с учетом (4.30)-(4.32) в кинетическое уравнение входит только fa , и оно имеет вид

. (4.33)

 

Ограничимся случаем сильного рассеяния, когда время изотропизации τ (время рассеяния частиц на угол ~π) много меньше периода Т. Вычитая (4.33) из неусредненного (по телесному углу) линеаризованного кинетического уравнения и полагая, что в случае сильного рассеяния

, (4.34)

а нарушение этого равенства возможно только внутри пренебрежительно малых интервалов времени τ0«T, получаем следующее уравнение для fc

 . (4.35)

 

Хотя условие τ0«T является определенным ограничением, при его выполнении, как это следует из качественного рассмотрения §1 данной главы, альвеновский цикл приводит к ускорению, так что применение данного приближения оказывается вполне оправданным. Интегрируя (4.35) дважды по θ и учитывая, что <sin2θ>=2/3 , находим fc

, (4.36)

где

.

Чтобы получить уравнение для , нужно подставить (4.29) в (4.26) и усреднить полученное уравнение по телесному углу и по периоду Т. Учитываем, при этом, что , так как согласно (4.33) . При таком усреднении получаем

, (4.37)

где индексы T, θ означают соответственно усреднение поT и по θ. Непосредственным интегрированием можно убедиться, что

. (4.38)

 Тогда правая часть уравнения (4.26) после интегрирования по Т и по θ обращается в нуль. Сохраняя в этом уравнении члены, квадратичные по пульсациям с периодом магнитной накачки Т, в результате получаем

. (4.39)

 

Подставляя (4.36) в (4.39), после усреднения по телесному углу получаем уравнение ускорения диффузионного типа

, (4.40)

 

где коэффициент диффузии в пространстве импульсов равен

.

 

§4. Постановка самосогласованной задачи о спектре волн и частиц

 

При наличии переменного магнитного поля источником интенсивной турбулентности в плазме является циклотронная неустойчивость, связанная с анизотропией углового распределения по скоростям. Такая анизотропия при сохранении первого адиабатического инварианта возникает в первоначально изотропной плазме при двумерном сжатии - расширении ларморовских орбит частиц за счет изменения магнитного поля. Циклотронная неустойчивость, обусловленная циклотронным резонансом между волнами и частицами на циклотронной частоте с учетом эффекта Допплера, при достаточно больших скоростях частиц возникает при весьма малой анизотропии. Инкремент неустойчивости γ равен γ=-Imδk2/∂(Rek2)/∂ω, где δk2 - добавка к волновому числу обусловленная током быстрых частиц. Для волн круговой поляризации, бегущих вдоль оси z

, (4.41)

 

где jx, jy - компоненты тока быстрых частиц, E±=Ex+iEy. Подставляя в (4.41) выражение (4.18) для фурье-компонент fk функции распределения быстрых частиц, вводя координаты интегрирования pz, pz и φ в соответсвии с (4.12) и интегрируя (4.41) по φ, получаем

, (4.42)

 

где опущен индекс 0 у функции распределения частиц. Вычисление интеграла в (4.42) путем обхода особых точек знаменателя при pz>0 и pz<0 дает

 

, (4.43)

 

где подынтегральное выражение берется при резонансном значении импульса и при дисперсионном уравнении (4.24). Примем в дальнейшем, что , тогда условия циклотронного резонанса имеют вид

. (4.44)

С учетом (4.12) величина α, характеризующая анизотропию функции распределения, равна

 

. (4.45)

 

В силу (4.44) , поэтому

 

.

 

Подставляя (4.45) и выражение (4.29) в (4.43), получаем

 

. (4.46)

 

В (4.46) учтено, что вклад в инкремент дает только симметричная часть функции распределения (4.29), так как исходное выражение (4.43) получено суммированием по двум значениям pz=pcosθ , имеющим противоположные знаки, а величина  несимметрична относительно θ=π/2, так каксимметричная, a tgθ - несимметричная функция. Используя выражение (4.36) и учитывая, что, как можно показать,

 

, приведем (4.46) к виду

 

. (4.47)

При получении (4.47) было использовано резонансное условие (4.44), в силу которого входящая в выражение (4.36) для спектральная функция  была вынесена за знак интеграла, а входящая под знак интеграла величина cos2θ была представлена в виде . Скорость роста спектральной функции связана с инкрементом соотношением

. (4.48)

 

Изменение Φ за время t, сравнимое с периодом магнитной накачки, определяется лишь множителем в (4.47), так как за указанный промежуток времени. Учитывая, что , подставляя (4.47) в (4.48) и производя интегрирование, получаем выражение для спектра турбулентности, усредненного за период Т

 

. (4.49)

 

Уравнения (4.40) и (4.49) образуют искомую самосогласованную систему уравнений для нахождения спектров частиц и волн.

 

§5. Условия возможности ускорения

 

Если бы не было обратного влияния волн на частицы, то анизотропия α0 вызывала бы только адиабатические изменения импульса в переменном магнитном поле и была бы очень велика по сравнению с анизотропией α при наличии сильного рассеяния. Т.о. при сильном рассеянии, когда угловая функция распределения близка к изотропной, имеется малый параметр α/α0«1, по которому можно проводить разложение. Приближение сильного рассеяния, использованное в §4, фактически и является разложением по степеням этого параметра. Условие τ«T является одним из условий возможности ускорения. При отсутствии рассеяния и при достаточно большой концентрации быстрых частиц инкремент γ может периодически принимать большие положительные значения γ0»Ω. При γ0»Ω время t0=1/γ0 нарастания колебаний в е раз значительно меньше периода T=2π/ Ω, и именно при этом условии рассеяние может происходить за время τ«T. Т.о. условие γ0»Ω является необходимым для возможности ускорения, т.к. в противном случае, когда неустойчивость развивается медленно, рассеяние частиц не приводит к полной изотропизации в конце цикла, и альвеновское ускорение может прекратиться. Условие γ0»Ω может быть использовано для оценки минимальной концентрации nmin, при которой возможно ускорение, при этом γ0(nmin)=Ω. Т.о. для оценки nmin надо вычислить инкремент γ0(ω) резонансных колебаний при отсутствии рассеяния. Зависимость γ0(ω) можно получить, используя (4.43) и (4.45) и учитывая, что в отсутствии рассеяния угловая часть функции распределения определяется только адиабатическими изменениями в переменном поле. При этом теряет смысл введение fc и  fa , и линеаризованное кинетическое уравнение для угловой части fθ после усреднения по медленному периоду Т принимает вид

. (4.50)

 

Откуда

, (4.51)

 

где - решение диффузионного уравнения (4.40). В (4.51) без ограничения общности можно положить const=0, т.к. анизотропия должна быть положительной, когда cosΩt≥0, т.е. когда BB0,а для быстрых частиц на хвосте функции распределения . Если известно это решение, то подставляя и (4.51) в (4.43) и пренебрегая первым слагаемым в подынтегральном выражении (4.43), можно вычислить величину γ0(ω), которая пропорциональна п.

В §1 этой главы было сформулировано еще одно очевидное условие возможности ускорения: ω»Ω. T.о. альвеновское ускорение возможно, когда

 

ω»Ω, τ«T, n»nmin  (4.52)

 

Проведенное квазилинейное рассмотрение, при котором решалось нелинейное уравнение для спектра частиц, а спектр волн описывался в линейном приближении, справедливо, когда амплитуда турбулентных пульсаций не превышает величину исходного крупномаштабного магнитного поля.

Механизм магнитной накачки привлекается для объяснения ускорения ультрарелятивистских электронов в пульсарах и крабовидной туманности, ускорения релятивистских электронов вблизи Юпитера, а также при описании процесса ускорения нерелятивистских ионов с энергиями порядка 10 мэВ/нуклон на границе гелиосферы и в межпланетной среде.



вперед, гл.5   назад, гл.3   оглавление  литература  
  
   другие обзоры

SiZiF Co, НИИЯФ МГУ 2002.
Для связи: lll@srd.sinp.msu.ru (lll=LLL)