Глава 7. Ускорение в сдвиговых течениях

 

§1. Механизм ускорения

В космической плазме сдвиговые течения плазмы обычно сопровождаются надтепловыми потоками заряженных частиц. Рассмотрим  первоначально качественную картину ускорения частиц в области двумерного сдвигового течения бесстолкновительной плазмы при наличии рассеивающих центров, роль которых выполняют случайные турбулентные неоднородности магнитного поля. На рис. 7.1. показана зависимость скорости потока плазмы и, текущей в направлении  х, от  координаты у

при наличии сдвига скоростей, т.е. когда скорость плазмы изменяется в направлении, поперечном ее движению. Будем считать рассеяние частиц на магнитных неоднородностях упругим,  а  скорость  частицы  υ»u. Движение  частицы удобно представить в виде совокупности колебаний между двумя рассеивающими центрами. Так, если частица колеблется между центрами А и В, причем u_A>u_B и x_A<x_B (рис.7.1) энергия ее будет нарастать, т.к. центры А и В сближаются. Для центра В', расположенного симметрично центру В  (у'_В=у_В, х_А-х'_В=х_В-х_А), ситуация обратная - центры А и В' удаляются и час­тица теряет энергию. Если ι - расстояние между центрами, dι/dt=w - относительная скорость движения рассеивающих цент­ров, то изменение энергии ε частицы с точностью до членов ~(u/v)²

,                                                              (7.1)

Из выражения (7.1) следует, что суммарный вклад в dε/dt от центров В и В' положителен и равен 4εω²(ιυ)^-1. При усреднении  по   всем   рассеивающим   центрам в рамках адиабатического приближения с точностью и/υ ускорение отсутствует, т.е. <dε/dt>=0 . При усреднении с точностью до членов ~(u/υ)² с учетом того, что вероятность пройти частице путь ι без рассеяния есть     exp(-ι/λ)  (где λ - длина свободного пробега), получаем

,                                                                (7.2)

где a=const (в нашем простейшем рассмотрении а=1/2). Обобщение (7.2) показывает, что скорость набора энергии в сдвиговых течениях   пропорциональна квадрату ротора гидродинамической скорости (в нашем   рассмотрении (rotu)²=(du/dy)²). Физический смысл полученного результата можно пояснить с использованием рис. 7.1. За среднее время между рассеяниями τ частица смещается вдоль направления оси у на среднее расстояние τυ/3. Из-за того, что скорость рассеивающих центров меняется  при этом на величину Δu•"(τυ/3)(du/dy), рассеяние частицы будет сопровождаться изменением ее импульса на Δp~(Δu)p/υ, причем положительный и отрицательный знаки этого приращения равновероятны. Поэтому процесс изменения энергии частиц носит характер диффузии в фазовом пространстве с коэффициентом диффузии

,                                                       (7.3)

Из выражения (7.3) следует, что чем большие изменения испытывает скорость плазмы и на длине свободного пробега λ=τυ, тем выше темп  ускорения. По аналогии с обычной столкновительной средой процесс ускорения частиц в сдвиговых течениях плазмы часто называют фрикционным.

 

§2 Кинетическое рассмотрение

Последовательное описание распространения быстрых частиц в плазме состоит в осуществлении процедуры усреднения (смотри гл.6) по реализациям хаотического магнитного поля, имеющего случайную природу.  Выполнение этой процедуры в уравнении Лиувилля для функции распределения быстрых частиц, которая испытывает случайные флуктуации на тех же масштабах, что и магнитное поле, приводит к кинетическому уравнению для усредненной по возможным реализациям магнитного поля функции распределения F

,                                                                (7.4)

где v - скорость частицы в системе координат наблюдателя, а интеграл столкновений StF описывает влияние хаотического магнитного поля на движение частиц.  При выводе (7.4) было предположено, что регулярное магнитное поле отсутствует. Запишем интеграл столкновений через дифференциальное сечение рассеяния dσ. В соответствии с определением   дифференциального сечения, число столкновений, происходящих в объеме  d³r  в  течение  времени  dt  и  сопровождающихся изменением импульса от р до р', равно

,                           (7.5)

где N_c  - концентрация частиц, и где индексом u обозначены величины в сопутствующей системе координат, т.е. в системе координат, которая  движется относительно наблюдателя со скоростью u. Величины r,p,t и r_u, p_u, t_u связаны между собой преобразованиями Лоренца. Изменение числа частиц в объеме d³r  за время dt

,                                                 (7.6)

Согласно определению, интеграл столкновений есть изменение числа частиц N(p), отнесенное к величине фазового объема d³rd³p и к интервалу времени dt. Учитывая инвариантность величин d³rdt и d³rd³p, приходим к выражению

,      (7.7)

где ε=m₀c²/(1-υ²/c²)^1/2 - полная энергия частицы, m₀ - ее масса покоя. Упругий характер процесса рассеяния позволяет представить сечение в виде

,                                            (7.8)

где  - угол, определяющий направление импульса частицы. Если рассеяние частиц осуществляется изотропно, то Φ=1, и интеграл столкновений можно записать в виде

,                                                                           (7.9)

где   F_u(p_u)/4π - усредненная по углам функция распределения, τ=(N_cv_uσ₀)^-1 -   среднее   время   между рассеяниями.

Изложенный полуфеноменологический подход позволяет рассматривать процесс ускорения без конкретизации свойств рассеивающей плазменной турбулентности. Перейдем в левой части (7.4) к сопутствующей системе координат в соответствии с преобразованиями Лоренца. Учитывая, что F_u(r_u,p_u)=F(r,p), и используя выражение (7.9), получаем

,               (7.10)

 

где по дважды повторяющимся индексам производится суммирование, а индекс u  кроме функции F_u  для краткости опущен. Поясним преобразование левой части уравнения (7.4). При этом будем рассматривать случай нерелятивистских частиц, когда υ<<с,  но будем считать υ»u.  Изменение импульса со временем связано с изменением кинетической энергии в нерелятивистском случае E=mv²/2=pp/2m, соотношением

 

,

 

где v_α=dr_α/dt . Учитывая, что в сопутствующей системе коор­динат при упругих рассеяниях скорость не изменяется, (т.е. du_β/dt=0), получаем (dp_β/dt)=-p_α(∂u_β/∂r_α), где

(-∂u_β/∂r_α) - уменьшение составляющей u_β скорости плазмы u при увеличении перпендикулярной к r_β координаты r_α. При использовании данного соотношения третье слагаемое в левой части (7.4) преобразуется к виду

 

,                                                 (7.11)

 

где . Из (7.11) и (7.9) получаем (7.10).

Для   получения   уравнения   ускорения   разложим  функцию F_u(r,p,t) в ряд по степеням Ω, ограничиваясь членами второго порядка

 

,             (7.12)

где  - нулевой, первый и второй моменты функции распределения F_u(r,p,t). Будем считать, что компоненты второго момента удовлетворяют условию F_αα=0. При этом нулевой момент является изотропной частью функции распределения . Подставляя (7.12) в (7.10), домножая (7.10) последовательно на 1, Ω_α,Ω_αΩ_β, и усредняя по углу , получаем уравнения, связывающие моменты

,

,               (7.13)

Необходимым условием адекватности разложения (7.12) является малость второго момента <<. Из (7.13) следует, что это условие  выполняется  для достаточно быстрых частиц со скоростями υ>>u, если скорость плазмы  мало меняется на расстоянии порядка длины свободного пробега частиц, так что λ|du/dy|«u. Используя метод последовательных приближений и сохраняя члены не выше второго порядка по u/v, можно получить из (7.13) выражения для моментов

 

,                               (7.14)

 

и уравнение для изотропной части функции распределения

 

,                                              (7.15)

 

где принято r₁=x, r₂=y и коэффициент диффузии в импульсном пространстве при течении, показанном на рис. 7.1., имеет вид

 

.                                                                              (7.16)

Т.о. кинетическое рассмотрение привело с точностью до численного  множителя к такому же значению D, что и качественное. Первый член в правой части (7.15) описывает пространственную диффузию, второй - процесс ускорения.

 

§3. Спектр и угловое распределение частиц

При однородных граничных условиях решение стационарного уравнения (7.15) имеет простой универсальный вид

,                                                                     (7.17)

где показатель спектра  q=3+η зависит от единственного параметра η,  характеризующего зависимость времени между рассеяниями τ от импульса

.                                                                                (7.18)

Т.о. в процессе ускорения формируется степенной спектр.

Характерной особенностью ускорения на сдвиговых течениях является   наличие анизотропии в угловом распределении частиц. Угловую   зависимость функции распределения можно представить в виде

F(y,p) = F(y,p)(1+a₁cosθ+ a₂sin2θcosφ),                                 (7.19)

где , , θ – угол между вектором р и осью х, φ - угол между проекцией вектора р на плоскость Oyz и осью у. Из выражения (7.19) следует, что вклад второй сферической гармоники в угловое распределение частиц максимален при углах θ=45° и 135°. По  порядку величины модуль коэффициента а₂ при второй сферической гармонике составляет [(q+2)/2](u/υ)(λ/L), где L - характерный масштаб  изменения крупномасштабной скорости плазмы. Для частиц, пробег которых λ=τυ сравним с величиной L, коэффициент а₂ может достигать величины порядка u/υ. Этот факт может служить отличительной особенностью  ускорения частиц в сдвиговых течениях плазмы.

При однородных в пространстве начальных и граничных условиях развитие фрикционного процесса ускорения во времени описывается уравнением

 

,                                                                   (7.20)

 

где коэффициент диффузии дается выражение (7.16), а время между рассеяниями выражением (7.18). Начальное условие

 

,                                                         (7.21)

 

отвечает ситуации, когда в момент времени t=t₀ инжектируются моноэнергичные частицы с концентрацией N₀. Решение уравнения (7.20)  можно  получить  методом разделения переменных. Оно имеет вид

,              (7.22)

где I_v – функция Бесселя мнимого аргумента.

,                                                                             (7.23)

Из (7.22) следует, что при η≥0 в результате ускорения формируется степенной спектр с показателем q=3+η во всей области импульсов р≥р₀ за конечный промежуток времени , где τ₀ - значение τ при р=р₀. В случае η<0 спектр имеет экспоненциальный вид, а характерное время его установления в диапазоне от р₀ до р есть

 

.