Глава 6. Ускорение ударными волнами и крупномасштабными сжимаемыми движениями плазмы

 

§1 Ударные волны в космической плазме

 

Одним из наиболее мощных ускорительных механизмов является ускорение на ударных волнах. В бесстолкновительной плазме характер распространения ударной волны определяется  магнитным или альвеновским числом Маха M_f=u/с_A, где скорость волны,  c_A- альвеновская скорость), магнитозвуковым числом Маха M_f =u/v_f ( где v_f - скорость магнитного звука), плазменным параметром β=nT/(B²/8π) (где n,T – концентрация и температура плазмы, B - напряженность магнитного поля) и углом между нормалью к фронту и магнитным фронтом. Диссипация энергии обусловлена развитием плазменных неустойчивостей на фронте волны. На рас 6.1 показан профиль силовой ударной волны, распространяющейся под большим углом  магнитному полю.

 

I – асимптотически невозмущенная область   набегающего течения перед фронтом , II –    «подножие» (foot) – область медленного нарастания       магнитного поля и плотности плазмы благодаря отраженным от фронта ионам, III – «скачок» (ramp) магнитного поля – область максимального градиента поля, IV – максимальный выброс магнитного поля над его асимптотическим значением за фронтом (overshoot) , в котором величина магнитного поля оказывается больше рассчитанной по соотношение Гюгонио, V – первый минимум поля (undershoot), VI – область осцилляций, затухающих с ростом расстояния фронта,   VII – асимптотически возмущенная область за фронтом. Плазменные параметры в областях I и VII связаны адиабатой Гюгонио. Показанный на рис 6.1. профиль реализуется только при числах Маха больших критического (.3). В докритических ударных волнах с сильной диссипацией остаются только области I, III, VII.

 

 

§2. Взаимодействие быстрых частиц с плоской ударной волной

 

Характер движения достаточно быстрых частиц в окрестности фронта бесстолкновительной ударной волны мало зависит от деталей структуры фронта. Если ларморовский радиус частицы много больше толщины фронта, её взаимодействие с волной определяется соотношением параметров между областями I и VII, поэтому в дальнейшем будем считать фронт волны плоским. Для поперечной ударной волны, распространяющейся вдоль оси x, со скоростью u, плотность плазмы  и магнитное поле связаны соотношениями

p₂=σp₁, u=u₁/σ , B₂=σB₁, (6.1)

где  - степень сжатия вещества на ударном фронте. Электрические поля за и перед фронтом волны совпадают

                     E₁=c^-1[u₁B₁]= E₂= c^-1[u₂B₂].  (6.2)

При пересечении ударного фронта быстрые частицы под влиянием градиентного дрейфа смещаются вдоль электрического поля и ускоряются (рис. 6.2).   Детальный расчет на основе анализа траектории движения частицы приводит к сохранению магнитного потока, охватываемого двумя дугами траектории частиц в областях за и перед фронтом за один оборот. Откуда следует, что

 

,          (6.3)

 

Заметим, что соотношение (6.3) не является

следствием сохранения магнитного момента частицы, т.к.  в данном случае не выполнено условие малости градиентов полей на расстоянии порядка ларморовского радиуса, и первый инвариант не должен сохраняться. Набор частицей энергии ограничен тем, что она только однократно пересекает фронт. Например, если  B₂/B₁=4, то в нерелятивистском случае энергия частицы увеличивается в 4 раза, а в релятивистском – только в 2 раза. Эта эффективность может возрасти при распространении фронта в турбулентной среде. В случае параллельной ударной волны прирост при пересечении фронта равен нулю, т.к. регулярное поле перед и за фронтом волны отсутствует (E₁=E₂=0).

При распространении в турбулентной среде частицы за счет рассеяния на магнитных неоднородностях могут многократно пересекать фронт ударной волны. Для сильных ударных волн u₁, u₂»c_A, поэтому если рассеяние частиц обусловлено МГД турбулентностью, магнитные неоднородности можно считать вмороженными в плазму. На рис. 6.3. показаны блуждания частицы в турбулентной среде вблизи фронта ударной волны. Рассеяние частиц на неоднородностях магнитного поля приводит к их изотропизации, а также дает возможность

многократно пересекать ударный фронт и подвергаться ускорению, которое носит циклический характер. Если пренебречь влиянием быстрых частиц на среду, рассеяние частиц будет упругим в системе отсчета связанной с рассеивающими центрами. Изменение импульса частицы, обусловлено её рассеянием, равно

Δp=(p_f -p_i)u/v, u/v«1 ( где p_f , p_i  - импульсы частицы до и после рассеяния, u - скорость плазмы). Двукратное пересечение фронта дает изменение импульса Δp=(p_f -p_i)u Δp=](p_k -p_i)u₁+(p_f –p_k)u₂]/v. Ускорение последнего выражения по потоку частиц в случае, если он близок к изотропному дает среднее изменение импульса за цикл двукратного пересечения ударного фронта

 .                                                (6.4)

После совершения очередного цикла частица имеет определенную вероятность не вернуться к фронту. Поэтому число частиц падает с ростом номера цикла. Если  - вероятность совершения одного цикла, то количество частиц в единице объема с импульсом, большим чем p – N, т.е. интегральный спектр ускоренных частиц N(p) определяется из условия Т(p+Δp)=P_cN(p), которое показывает, что количество частиц, способных совершить (i+1) цикл пересечения фронта, равно произведению числа частиц, совершивших i циклов, на вероятность совершения следующего цикла. Откуда следует, что

 

                                                    (6.5)

 

Если P_1,2 - вероятность возвращения частицы из областей перед и за фронтом волны на ударный фронт, то P_c=P₁P₂. Из области перед фронтом все частицы конвективно сносятся к фронту, поэтому P₁=1. Вероятность P₂ можно выразить через поток частиц J₁₂, поступающий из области 1 в область 2, и направленный поток частиц в области 2:

P₂=( J₁₂  - J₂)/ J₁₂. Если n=dN/dp – дифференциальная плотность частиц, то при распределении частиц за фронтом, близком к однородному изотропному распределению, J₁₂=nv/4, J₂=nu₂. Откуда

 

                                                         (6.6)

 

Из (6.4) – (6.5) следует уравнение для n

 

                                               (6.7)

 

Решение (6.7) при учете (6.1) является степенная функция n≈p^-γ, где γ=(σ+2)/(σ-1). Быстрая частица, сталкиваясь с вмороженными перед и за фронтом магнитными неоднородностями, приобретает энергию за счет механизма Ферми первого рода (многократные отражения от сближающихся стенок). Данный механизм принято называть регулярным механизмом ускорения или диффузионным ускорением ударной волной. Он работает даже в случае параллельной ударной волны. Для сильной ударной волны s=3-4 и γ=2-3. Такой показатель спектра соответствует спектру галактических космических лучей и релятивистских электронов в остатках сверхновых.

 

 

 

§3. Уравнение переноса быстрых заряженных частиц.

 

Процессы переноса быстрых заряженных частиц в космической плазме могут быть достаточно полно описаны на основе диффузионного уравнения переноса, что обеспечивается наличием хаотического магнитного поля. Диффузионный способ описания применим, если достаточно частые рассеяния быстрых частиц на неоднородностях магнитного поля делают угловое распределение частиц близким к изотропному, так что представляется возможным ограничиться первыми двумя угловыми моментами в разложении функции распределения. Для ввода уравнения переноса рассмотрим магнитное поле B(r,t)=B₀(r,t)+B₁(r,t) где <B₀(r,t)>=B₀, <B₁(r,t)>=0  и усреднение производится по ансамблю случайных полей), переносимое замагниченной плазмой со скоростью направленного движения u«c (где с – скорость света). Бесстолкновительное кинетическое уравнение в системе координат наблюдателя

 

                                                (6.8)

содержит член, пропорциональный силе , которая складывается из силы Лоренца F₁=e[vB]/c и силы, вызываемой индукционным электрическим полем E=-[uB]/c (считаем, что электрическими полями собственных колебаний плазмы можно пренебречь). Т.о

 

,                                             (6.9)

где . Усреднение (6.9) по случайным реализациям магнитного поля при степенной форме спектра случайного поля с показателем поля υ дает 

 

 ,                 (6.10)

где F(r,p,t)=<f(r,p,t)>, L₀ радиус корреляции случайного поля,

γ=π^1/2Γ(v/2)/6Γ[(v-1)/2] (где Γ - гамма функция Эйлера). Усредненная функция распределения быстрых частиц при условии сильного рассеяния близка к изотропной и может быть представлена в виде разложения в ряд по сферическим гармоникам

 

,                       (6.11)

 

где N(r,p,t) и j(r,p,t) - усредненная концентрация и поток частиц с импульсом pÎ(p,p+dp). Подстановка (6.11) в (6ю10) приводит к системе уравнений для N иj, имеющих вид в системе координат с осями n₃=b₀=B₀/B₀, n₁=[(u/u),b₀], n₂=[b₀,n₁]

 

,                       (6.12)     

.                                 (6.13)

В уравнение переноса (6.12) для изотропной части функции распределения быстрых частиц первый член в правой части описывает пространственную диффузию. Компоненты тензора диффузии равны , , , ,

где æ₀=vΛ/3, Λ=Λ(r,p) - длина пробега частицы, R₀=cp/eB₀. Второй член (6.12) описывает конвекцию частиц из-за вмороженных в плазму неоднородностей магнитного поля, переносящихся со скоростью u. Последний член описывает изменение энергии частицы при взаимодействии с движущейся средой, которая при отсутствии ударных воле сводится к так называемому адиабатическому замедлению частиц. Выражение (6.13) для потока частиц состоит из суммы диффузионного потока, пропорционального градиенту N, и конвективного потока из-за движения магнитных неоднородностей. Уравнение (6.12) справедливо, когда неоднородности среды L»Λ. Если течение является разрывным для быстрых частиц (как, например, в случае ударной волны), это условие нарушается. В этом случае уравнение (6.12) должно быть дополнено граничным условием на ударном фронте, связывающим решения этого уравнения по обе стороны фронта.

 

§4. Спектор частиц, ускоренных плоской ударной волной в турбулентной среде

 

Рассмотрим плоскую квазипараллельную ударную волну, распространяющуюся вдоль оси х в однородной среде. В системе покоя фронта (х=0 – координата фронта) в диффузионном приближении уравнения переноса для изотропной части функции распределения f имеет вид (смотри (6.12))

 ,                            (6.15)

где æ = æ (p,x) - коэффициент пространственной диффузии. В стационарном одномерном случае в плоской волне

 

,                            (6.16)

 

где k – показатель политропы, (k-1)/(k+1)=1/s. Из (6.16) следует, что divu=(u₂-u₁)δ(x), так что уравнение (6.15) в стационарном случае принимает вид

 

,                               (6.17)

 

где Δ=u₁- u₂. Интегрируя (6.17) почленно от - Δх до + Δх и устремляя Δх   к нулю, получим два граничных условия

f₁= f₂,                                                   (6.18)      

,                             (6.19)

где f₁= f(x=-0), f₂= f(x=+0). Условие (6.18) означает непрерывность функции распределения на фронте, условие (6.19) – непрерывность диффузионного и конвективного потоков. Решение уравнения (6.17) имеет вид

  i=1,2.                             (6.20)

Из условия ограниченности f₂(x,p) при x→¥ следует, что B₂=0. Зададим граничное условие при x→¥: f₁(-¥,p)=A, означающее присутствие в невозмущенном потоке определенного количества быстрых частиц, вступающих в ускорение и выполняющих роль инжектированных частиц. Из условия (6.18) следует, что f₁(0,p)=A₁+B₁=A₂  , B₁=A₂ – A₁. Откуда получаем

 

.                 (6.21)

 

Из (6.19) при учете (6.21) следует, что

 

 или ,        (6.22)

 

где r= u₁/ u₂. Решение (6.20) принимает вид

 

                                      (6.23)

 

с показателем спектра q=3r/(r-1)=3u₁ /(u₁-u₂)  . Для граничного условия вида

f₁(-¥,p)=A₁(p)=C₀δ(p-p₀) имеем за фронтом ударной волны(х>0)

 

,                                   (6.24)

 

где θ(ζ) – функция Хевисайда (θ(ζ)=1 при ζ<0, θ(ζ)=0 при ζ>0). Полученный степенной спектр частиц характерен для ускорения ударными волнами. Для плотности частиц n=4πp²f имеем спектр n≈p^-γ-,γ=q-2. Если k=5/3 (идеальный газ), то q=4 и n≈p^-γ, γ=2. Использование уравнения переноса (6.15) предполагает, что масштаб изменения скорости плазмы L=|u/Δu| значительно больше длины пробега Λ (L»Λ). Это условие не выполняется на ударном фронте, поэтому мы заменили его граничными условиями (6.18), (6.19). Степенные спектры образуются, когда Λ и r_L много больше толщины ударного фронта.

Конечность размеров толщины фронта l приводит к ограничению на процесс ускорения, когда l сравнивается с характерной длинной ускорения x_α≈æ/u₁. Рассмотрим плавное перемещение профиля скорости волны на характерной длине l

 

u(x)=0.5(u₁+u₂)-0.5(u₁ -u₂)th(x/l) .                     (6.25)

 

В стационарном случае (6.15) при постоянном коэффициенте диффузии æ и при выполнении (6.25) путем замены пространственной переменной приводится к виду

 

,                                (6.26)

 

где du/dx =-2(u₁ -u) (u -u₂)/l(u₁ -u₂). Краевое условие  соответствует спектру инжектированных быстрых частиц, ускоряющихся на фронте ударной волны. Решение (6.26) имеет вид

 

,                                          (6.27)

 

где α=ju₁ /2æ, q₀=(3r/(r-1))[1+(lu₂ /2æ)]. Как следует из (6.27), при больших значениях импульса спектр имеет степенной вид, а показатель спектра растет с ростом толщины фронта. При l≥æ/u₂ влияние толщины фронта становиться существенным, т.к. l~x_α.

Приближение плоского фронта выполняется, если диффузионная длина  ускорения x_α намного меньше радиуса кривизны фронта R, т.е. æ(u₁R)^-1«1. При  малой кривизне фронта, т.е. при æ(u₁R)^-1»1, формируется спектр вида f(p)≈p^3æ/uR, большая крутизна которого указывает на неэффективность ускорения частиц.

Нестационарное уравнение (6.15) с граничными условиями (6.18), (6.19) для источника быстрых частиц с начальной функцией

 

 при t»æ/u² имеет решение

 

,                          (6.28)

 

где  - характерное время ускорения частиц от  до р,  . При этом,

,                                (6.29)

 

и импульс увеличивается со временем по закону

 

,                               (6.30)

 

где  имеет смысл характерного времени ускорения. По порядку величины  τ_α≈æ/u². Т.к. æ=vΛ/3, τ_α≈ vΛ/3u². Скорость набора энергии  . Сравнение с темпом набора энергии в фермиевском механизме  показывает, что эффективность ускорения на ударных волнах и фермиевского механизма становятся одного порядка величины, когда гидродинамическая скорость волны сравнивается со скоростью турбулентных хаотических пульсации.

Если в плазме возбужден ансамбль ударных волн, рассмотрение ускорительного механизма сводится к фермиевскому при скоростях магнитных облаков, равных скоростям ударных волн. Такое ускорение может обеспечить очень эффективный набор энергии частицей, поэтому данный ускорительный механизм рассматривается в качестве основного при решении вопроса об ускорении космических лучей больших энергий.

Ударные волны в космосе являются одним из наиболее часто встречающихся сильных возмущений. Формируемый спектр, как правило, имеет степенной вид. Ускорение на ударных волнах способно передавать значительную долю энергии небольшой группе быстрых частиц. Давление этих частиц быстро нарастает и начинает модифицировать форму фронта ударной волны.

 

§5. Ускорение частиц крупномасштабными сжимаемыми движениями плазмы

 

Крупномасштабные движения космической плазмы также могут передавать часть своей энергии группе быстрых частиц. Если скорости крупномасштабных движений достаточно велики, формируются ударные волны. Рассмотрим формирование спектра частиц в случае крупномасштабного движения при divu≠0 в регулярном магнитном поле B₀ при условии выполнение дрейфового условия, т.е. когда ларморовский радиус быстрых частиц r_L»Λ, где Λ - длина транспортного пробега по отношению к рассеянию мелкомасштабными неоднородностями.

Уравнение (6.12) дает возможность исследовать взаимодействие быстрых частиц с ансамблем крупномасштабных сжимаемых движений плазмы. Если скорость u является случайной величиной, для которой при усреднении по крупномасштабным движениям среды справедливы условия

 

< u >=0, <Ñu >=0                                    (6.31)

 

где символ < > означает усреднение по статистическому ансамблю, и основной масштаб турбулентности для случайных флуктуаций скорости в пространстве и во времени L₀≈1/k₀, k≤ k₀, удовлетворяет условию L₀»Λ, то физической причиной ускорения является появление случайных электрических полей E=-[uB]/c при флуктуации скорости u регулярного движения плазмы.  Ускорение возможно как при сильном диффузионном распространении, так и при конвективном переносе.

Ускорение при сильном диффузионном распространении соответствует случаю, когда время τ_d диффузионного распространения на расстоянии порядка основного масштаба турбулентности L₀ значительно меньше времени конвективного распространения τ_c

 

τ_d/τ_c=uL₀/vΛ«1.                                        (6.32)

 

В этом случае, подставляя

,                           (6.33)

после усреднения (6.12) по ансамблю крупномасштабных движений при изотропном коэффициенте диффузии æ_αβ=æδ_αβ имеем уравнение

,                             (6.34)

где  - коэффициент диффузии в пространстве скоростей,  - среднеквадратичное значение флуктуирующей скорости.

При выполнении условия

 

τ_d/τ_c=uL₀/v»1,                                     (6.35)

 

в уравнении (6.12) можно пренебречь пространственной диффузией. После усреднения по крупномасштабным изменениям скорости плазмы уравнение скорости примет вид

 

,                                     (6.36)

 

где коэффициент диффузии D(p)=p²u/9L₀. При доминирующем конвективном переносе коэффициент пространственной диффузии æ ≈uL₀, поэтому

D(p)=p²u²/9æ