Глава 5. Стохастическое ускорение.

 

§1. Столкновение частиц с магнитогидродинамическими возмущениями конечной амплитуды

 

При стохастическом ускорении энергия небольшой группы ускоряемых частиц черпается из энергии плазменной турбулентности. Исторически первым из рассмотренных стохастических механизмов ускорения был механизм, предложенный Ферми, основанный на рассмотрении столкновений частиц с движущимися магнитными облаками. Так как элементы данного рассмотрения входят составной частью в ряд других механизмов, ниже мы рассмотрим физические основы Фермиевского механизма ускорения.

Если ларморовский радиус частицы r_L много меньше характерных масштабов изменения параметров турбулентности, а характерные времена изменения электрического и магнитного полей много больше времени обращения частицы по ларморовской окружности, изменение энергии частицы ε может быть рассчитано в дрейфовом приближении (в данном разделе мы ограничимся нерелятивистским рассмотрением)

,  (5.1)

где - скорость движения ведущего центра, B – напряженность магнитного поля. Первый член в правой части (5.1) соответствует скорости изменения энергии под действием электрического поля Е, второй – бетатронному ускорению.

Рассмотрим столкновение частицы с магнитным облаком – сгустком замагниченной плазмы. Такой сгусток содержит большой число частиц малой энергии и переносит структуру магнитного поля. Отметим, что данное модельное представление позволяет описывать характерные свойства некоторых МГД структур в космосе (например, ударных волн). Взаимодействие быстрой частицы с таким сгустком можно рассматривать как столкновение с массивной частицей. Как известно, в стохастическом режиме столкновения частиц приводят к равнораспределению энергии между частицами. Поэтому столкновение частиц с движущимися магнитными облаками приводят как бы к «нагреву» газа частиц (аналогия здесь несколько условна, т.к. ускорение прекращается много раньше, чем частица приобретает энергию, сравнимую с энергией всего облака). Возможны два типа столкновений. При первом происходит отражение частицы движущейся магнитной пробкой – зеркалом. Если частица удерживается между двумя магнитными зеркалами, то сохраняется второй адиабатический инвариант , где v_|| - продольная скорость движения ведущего центра, ds – элемент длины магнитной силовой линии. В системе отсчета наблюдателя при отражении от зеркала энергия частицы изменяется при условии u<<v_|| на Δε=2mu_||v_|| . Если L расстояние между зеркалами, то интервал времени между соударениями Δt=L/v_|| (где v_||  - средняя продольная скорость частицы). Т.к. u=-0.5dL/dt, средняя скорость изменения импульса частицы Δp_||/Δt=2mu_||v_||/L. Откуда следует, что

,   (5.2)

т.е.  p_||L=const. При втором типе столкновений заряженная частица движется вдоль искривленной силовой линии, следуя за ее изгибом. Если траектория ведущего центра при движении вдоль силовой линии при постоянном |B| меняет свое направление отсчета наблюдателя при u_||<<v_|| равно ε_||=2mu_||v_||. При реальных столкновениях изменение скорости частицы происходит как за счет отражения от магнитной пробки, так и за счет движения вдоль искривленных магнитных силовых линий. Отметим, что при столкновениях первого типа изменение энергии частицы обусловлено бетатронным механизмом ускорения.

При многократных столкновениях суммарное изменение энергии зависит от соотношения встречных и догоняющих соударений. Вероятность встречных столкновений равная (u_||+v_||)/2v_|| , превышает вероятность догоняющих столкновений (v_|| -u_||)/2v_|| , так что средние энергии частицы за соударение

.  (5.3)

 

Для лобовых столкновений η=2, для случая сферических упруго рассеивающих неоднородностей η=4/3. Если L - среднее расстояние между магнитными облаками, то средняя скорость изменения энергии частицы

 

.  (5.4)

 

§2. Статистическое фермиевское ускорение

 

В космофизических условиях крупномасштабные структуры плазменной турбулентности могут выполнять роль магнитных облаков Ферми. Рассмотрим действие фермиевского механизма в условиях существования развитой гидромагнитной турбулентности. В плазме концентрации n, температуры T, со средним значением магнитного поля B при выполнении условий nT≤B²/8π,  (где M – масса иона, c_A - скорость турбулентных пульсаций) возбуждается спектр гидромагнитных волн различной длины со скоростью распространения c_A=B/(4πρ)^1/2. Если L₀  - основной масштаб турбулентности, то крупномасштабные колебания с длиной волны r_L«Λ≤L₀ будут эффективно отражать частицы с v≥c_A. Частицы, захваченные между локальными максимумами волн, будут ускоряться при отражении от областей усиленного магнитного поля. При сильном рассеянии частиц на волнах, длина которых порядка ларморовского радиуса частиц с данной скоростью, происходит эффективное статистическое фермиевское ускорение. Оно может быть описано как диффузия частиц в импульсном пространстве, если столкновения частиц  с волновыми пакетами статистически независимы, что обеспечивается сильным рассеянием частиц. При выполнении принципа детального равновесия вероятности изменения продольного импульса частицы от p_|| до  и от  до p_|| равны в релятивистском и нерелятивистском случаях. Тогда изменение функции распределения в пространственно однородном случае имеет диффузионный характер и описывается уравнением Фоккера – Планка

,  (5.5)

где f – функция распределения быстрых частиц. В лабораторной системе отсчета с точностью до членов  при использовании преобразований Лоренца к системе движущейся магнитной неоднородности, на которой происходит упругое рассеяние,

 , (5.6)

где значение граничного питч-угла θ₀ (|cosθ₀|=x₀), соответствует питч-углу, при котором частица перестает отражаться от магнитной неоднородности, импульс p_||  измеряется в единицах m₀c (m₀ – масса покоя частицы), энергия ε – в единицах m₀c², εv=pc, β=c_A/c. Действительно, если при каждом отрадении от области усиленного магнитного поля импульс частицы изменяется на величину 2mc_A , то Δ p_||=2βm/m₀=2εβ, откуда и следует (5.6). Для альвеновских волн, распространяющихся вдоль B₀, величина магнитного поля в точке отражения при B_λ«B₀   Откуда, , то есть x₀~B_λ/B₀. Для магнитозвуковых волн, в которых B_λ||B₀ , величина x₀~(B_λ/B₀)^1/2. Если λ(B_λ) – длина волны магнитных пульсаций с амплитудой B_λ , то среднее время между столкновениями с магнитными неоднородностями

Δt=λ(B_λ)/|v_|||. Откуда

,  . (5.7)

Ускорение Ферми эффективно, если время рассеяния частицы τ_s(p) с импульсом p на угол π много меньше времени ускорения τ_a до этого значения импульса. С учетом рассеяния уравнение эффективного ускорения записывается в виде

 

, (5.8)

 

где K(B_λ)=1/λ(B_λ), а оператор Ŝ действует на угловую часть функции распределения. При сильном рассеянии f близка к изотропной, так что разложение f по собственным функциям оператора Ŝ представляется в виде

 

, . (5.9)

 

Проинтегрировав уравнение (5.8) по поверхности единичной сферы, получим диффузионное уравнение для изотропной функции распределения. Описывающее процесс ускорения при τ_s«τ_a

 

,  (5.10)

 

с коэффициентом диффузии в пространстве импульсов D=εpD_F , где , , K(h) – спектр пульсаций. Величина , равна среднему числу волн с амплитудой больше h=B-B₀  на единицу длины,  может быть представлена в виде , где h_m=B_m-B₀. При этом, величина D_F принимает вид

 

,

 

где Г – гамма функция, v<2. При v≥2 интеграл D_F  расходится на верхнем пределе, так как при θ→π/2 отражение происходит от волн сколь угодно малой амплитуды. И при достаточно слабой зависимости амплитуды от масштаба время между столкновениями стремится к нулю. Таким образом чисто фермиевское ускорение, то есть, отражение частиц от длинных волн, имеет место лишь при достаточно быстро убывающих с масштабом амплитуд пульсаций (h(λ)→0 при h→0 быстрее, чем λ^1/2, так как не зависит от импульса, и коэффициент диффузии в импульсном пространстве пропорционален εp. Можно показать, что условие сильного рассеяния τ_s«τ_a=p²/D=p/εD_F  налагает ограничение снизу на возможные значения импульса ускоряемых частиц.

Если задача пространственно неоднородна, то в уравнение диффузии надо добавить член, соответсвуиций пространственной диффузии с коэффициентом пространственной диффузии в одномерном случае D_z=v_||Λ/2, где ось z направлена вдоль невозмущенного поля. Т.к. Λ =2β²с/D_F, коэффициент диффузии в реальном пространстве D_z= β²c²p/2D_Fε, и при учете одномерной пространственной диффузии

 

.  (5.11)

 

Умножив уравнение (5.11) на р и интегрируя по всему пространству импульсов, .получим в нерелятивистском случае

()  ,  а в релятивистском случае  (ε≈p), const=β²/Λ совпадает по порядку величины с фермиевской константой выражения (5.4). Отметим, что принцип детального равновесия налагает ограничения на спектр частиц, а уравнение (5.11) позволяет исследовать асимптотику функции распределения в области достаточно больших импульсов.

Рассмотрим решение диффузионного уравнения без учета пространственной диффузии в случае импульсного возбуждения и последующего затухания турбулентности. Такая ситуация может быть реализована, например, при взрыве сверхновой. Пусть D_F=0 при t<0, при t=0 D_F скачком возрастает до конечного значения, а затем убывает до нуля по заданному закону.

Полагая , получаем в нерелятивистском случае (ε=1)

. (5.12)

 

Уравнение (5.12) имеет частные, ограниченные в нуле, решения вида e^-x²τp^-1J₂(2æp^1/2), J₂ – функция Бесселя. Откуда общее решение

, (5.13)

где Ψ(æ) связана с функцией инжекции f(p,0)=f₀(p) соотношением

 

_{.  (5.14)}

 

Применяя теорему Фурье-Бесселя, получаем

_{.  (5.15)}

Подставляя (5.15) в наше решение и интегрируя по κ, получаем

 

,

 

где I₂ - функция Бесселя мнимого аргумента.

В большинстве задач (особенно астрофизических) можно положить, что функция инжекции отлична от нуля в области p≤p₀«1. При этом, асимптотика f(p,τ) при больших τ и р»р_о имеет универсальный вид. Разлагая I₂ в ряд Лорана и полагая exp(-p/τ)≈1, получаем

,  (5.17)

где n_o - полное число инжектированных частиц в 1 см^-3. Интенсивность частиц с импульсом >р

 

  (5.18)

 

имеет широкое плато при малых p/τ. Величина S(>0)/n_oc=3τ определяет средний импульс. Этот результат можно получить с точностью до численного множителя из (5.4). Однако учет флуктуации числа встречных и догоняющих столкновений показывает, что спектр тянется в область значительно больших р. Интенсивность падает на порядок лишь при p≈8τ. Энергия

таких частиц в 7 раз выше, чем при .

В ультрарелятивистском случае

 

    .  (5.19)

 

Полагая p=e^σ и f=p^-3/2Φ(p,τ)e^-9τ/4, сведем (5.19) к одномерному уравнению теплопроводности   с функцией Грина G(σ,σ´,τ)=(4πτ)^-1/2exp{-(σ-σ´)²/4τ}. Откуда следует, что при ускорении частиц в области с затухающей турбулентностью (τ→τ₀ при t→∞) устанавливается спектр вида

 

f=const p^-3/2exp(-ln²p/4τ₀).  (5.20)

 

При , спектр (5.20) становится очень жестким, т.е. интенсивность частиц 4πp2f падает очень медленно с ростом энергии частиц.

Решение уравнения ускорения при учете излучения волн из ускоряющего объема приводит к другому виду зависимости функции распределения от импульса. Поэтому, применение фермиевского механизма, обеспечивающего достаточно эффективное ускорение частиц в турбулентном объеме, для объяснения ускорения в данной системе требует задания начальных и граничных условий.

 

С помощью замены переменных это уравнение сводится к одномерному уравнению теплопроводности. Отсюда следует, что установившийся спектр имеет вид:

_{f=const∙p-3/2exp(-ln2p/4τ0).}

 

§3.Турбулентное ускорение

Если при фермиевском ускорении процессы резонансного взаимодействия волна-частица обеспечивали только рассеяние частиц при взаимодействии с турбулентностью, широкий класс ускорительных механизмов, за которым закрепилось название турбулентного ускорения, рассматривает ускорение случайными электрическими полями при  выполнении  условий резонанса. Для  каждой из ветвей колебаний ω(k) могут  выполняться соответствующие резонансные условия, поэтому в соответствии с возбуждаемым типом турбулентности группа частиц может ускоряться  ленгмюровской турбулентностью, нижнегибридной, свистовой и т.д.  Эффективность ускорения определяется спектром соответствующей турбулентности при учете потерь и выхода частиц из ускоряющей области. В  космофизических системах, как правило, основная доля энергии сосредоточена в МГД турбулентности, с которой в соответствии с резонансными условиями наиболее эффективно взаимодействуют быстрые частицы, поэтому ниже мы более подробно рассмотрим резонансное турбулентное ускорение при развитии магнитогидродинамической турбулентности. Заметим, что для частиц со скоростями υ»c_A  черенковский резонанс не играет существенной роли и ускорение может быть обусловлено либо рассмотренным выше механизмом Ферми, либо циклотронным резонансом.

Рассмотрим холодную плазму давления Р в магнитном поле В  (P«B²/8π), в которой возбуждена МГД турбулентность с основным масштабом L₀»r_L,  (где r_L  - ларморовский радиус ускоряемых частиц), угловое распределение волновых векторов, которой не имеет максимумов при больших углах с внешним полем В (в этом случае циклотронный резонанс  хорошо описывается одномерной моделью). Будем считать внешнее магнитное поле однородным B₀=B₀h, h=z/z и постоянным во времени. Рассмотрим волны, распространяющиеся вдоль магнитного поля k_x=k_y=0, k_z=k. Разлагая функцию распределения и поле волны в ряд Фурье аналогично рассмотрению §2 главы 4, приходим к квазилинейному уравнению для функции распределения быстрых частиц (υ»c_А)

,                                                          (5.21)

где Ŝ₀,Ŝ₁,Ŝ₂- соответственно операторы нулевого, первого и второго по (c_А/υ_||) порядка малости. В нулевом приближении чистого рассеяния

 

,                                  (5.22)

 

где Φ=dh²/dk спектральная функция турбулентности при резонансном |k|≈ω_B/|vcosθ|,  Ze - заряд частицы. Для степенного спектра с показателем степени v, т.е. при

, (5.23)

 

уравнение (5.22) принимает вид

 

                            (5.24)

 

Решением (5.24) является стационарное изотропное распределение, а также  дискретный набор экспоненциально затухающих угловых гармоник. Положив , для ψ_n(θ) получаем уравнение

,                       (5.25)

 

Полагая , получаем зависимость времени рассеяния τ от скорости частицы для степенного спектра турбулентности

             ,                                                  (5.26)

 

За время t=τ первая гармоника f₀₁ уменьшится в е раз, т.е. τ характеризует   изотропизацию углового распределения. Остальные гармоники спадают быстрее (, ). Собственными функциями углового оператора правой части (5.25) при =1 являются полиномы Лежандра от cosθ. В нулевом приближении по параметру (c_А/υ_||), т.е. за время изотропизации τ энергия частицы c υ»c_А, не изменяется. Поэтому при исследовании процесса ускорения за времена t=τ функцию распределения можно считать    изотропной. Переобозначая , усредняя (5.21) по телесному углу и учитывая, что

 

<S₀f₀>=0, <S₁f₀>=0,                                                                        

, ,                                              (5.27)

получаем после усреднения диффузионное  уравнение  ускорения

 

,                                                                (5.28)

с коэффициентом диффузии в пространстве скоростей

 

,                                              (5.29)

 

Для спектра турбулентности вида (5.23) с учетом того, что

 

,

 

(5.29) имеет вид

 

,                                            (5.30)

 

т.е. D~v^v-1. При этом, решение диффузионного уравнения (5.28) с начальным условием

 f(t=0)~δ(v) имеет вид

 

,                                    (5.31)

 

где K=const. Из (5.31) следует, что при v=1 асимптотически формируется максвелловский спектр, при v=2 формируется спектр вида exp(-v/v₀). Заметим,  что последний спектр характерен, например, для спектра протонов за  фронтом ударных волн солнечных вспышек.

Для случаев магнитогидродинамических волн, распрост­раняющихся только в одном направлении, турбулентное ускорение отсутствует.  Действительно, причиной ускорения являются случайные электрические  поля  E волн. Время ускорения τ_a~(eE)^-2, где значение электрического поля связано с магнитным полем волны соотношением E~c_A h/c. Если волны распространяются в одном направлении, то в системе координат, движущейся вместе с волнами, электрическое поле Е=0 и ускорение отсутствует во всех системах, движущихся относительно исходной с постоянной скоростью.

Отметим, что при широком спектре волн наряду с турбулентным  ускорением будет происходить фермиевское ускорение при адиабатическом   отражении частиц от крупномасштабных волн. Для степенного спектра при  v≤2 ускорение частиц определяется как турбулентным, так и фермиевским механизмами, при v>2 ускорение определяется механизмом Ферми.

Турбулентное ускорение, обусловленное резонансным взаимодействием частиц с волнами, является универсальным свойством турбулентности при непрерывном потоке энергии по спектру турбулентности в пространстве  волновых, чисел. Взаимодействие частиц с волнами для убывающего с k спектра турбулентных пульсаций сосредоточено в коротковолновой области  спектра, поэтому эффективная диссипация связана с хвостом функции распределения и ускорением малой доли быстрых частиц. Граничная   скорость быстрых частиц определяется внутренним масштабом     турбулентности . Спектр пульсаций при k>k₀ обрывается, и частицы с υ>υ₀ перестают ускоряться из-за отсутствия резонансных волн.